SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO  HÀ TĨNH  TOANMATH.com    KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 10 & 11 THPT  NĂM HỌC 2020 - 2021  Môn thi: TOÁN LỚP 10  Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề)  Câu 1.   (5,0 điểm)  a. Giải bất phương trình   2   2  2   3   2 x   x   x   x   x             .  b. Giải hệ phương trình             2   2   2   2  2  (   )   3   3   2  (   2)   2   1   (   5)   3   2   2   5   6  x   y   x   xy   y   x   y  y   x   y   x   x   y   x   x                                                            .  Câu 2.   (5,0 điểm)  a. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số   m     2  2  2   2   3  2   3  2   3  mx   mx   m  x   x                        nghiệm     x         ?  b. Tìm tất cả các giá trị của tham số   m     1  (   )   (2   3)  x   y   xy  y   m x   m   y   m                               , x y         .  Câu 3.   (5,0 điểm)  a. Cho tam giác   ABC   có góc      30 o  A      , bán kính đường tròn nội tiếp tam giác   3 r      và độ dài đường cao kẻ  từ đỉnh   A   là   h   thỏa mãn   2   2   2  1   1   1  h   AB   AC        . Tính giá trị   2   2  sin   cos T   B   C       và bán kính đường tròn ngoại tiếp  tam giác   ABC .  b. Trong mặt phẳng tọa độ   Oxy , cho       2;3 A   ,       1;5 B      và đường thẳng   : 2   1   0 d   x   y          . Tìm tọa độ điểm   C  thuộc đường thẳng   d   và tọa độ điểm   D   thuộc đoạn thẳng   AC , biết rằng tam giác   ABC   cân tại   B   và   5  5  DC      .  Câu 4.   (3,0 điểm)  a. Một cửa hàng chuyên kinh doanh xe máy điện với chi phí mua vào là 23 triệu đồng và bán ra với giá 27  triệu đồng mỗi chiếc. Với giá bán này thì số lượng xe mà khách hàng sẽ mua trong một năm là 600 chiếc.  Nhằm mục tiêu đẩy mạnh hơn nữa lượng tiêu thụ dòng xe này, chủ cửa hàng dự định giảm giá bán và ước tính  rằng, theo tỉ lệ nếu cứ giảm 100 nghìn đồng mỗi chiếc thì số lượng xe bán ra trong một năm sẽ tăng thêm 20  chiếc. Vậy doanh nghiệp phải bán với giá mới là bao nhiêu để sau khi giảm giá, lợi nhuận thu được sẽ là cao  nhất?  b. Tìm tất cả các bộ ba số nguyên dương       ;   ; x y p   với   p   là số nguyên tố thỏa mãn       2   2   2   6   2 x   p y   x   p          .Câu 5.   (2,0 điểm)  Cho các số thực dương   x ,   y ,   z   thỏa mãn   xy   yz   zx       . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:            2   2   2  2  4   (2   )  (   )  z   z   xy   x   y   z   x   y  P   x   y z                      .  _______________ HẾT _______________  https://toanmath.com/  Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay. Giám thị không giải thích gì thêm./.  Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Số báo danh: . . . . . . . . . . . . . . .

Đề thi học sinh giỏi tỉnh Toán 10 năm 2020 – 2021 sở GD&ĐT Hà Tĩnh

Mô tả tài liệu đang được cập nhật...

Đề Olympic 27 tháng 4 Toán 10 năm 2020 – 2021 sở GD&ĐT Bà Rịa – Vũng Tàu

S    GD&ĐT V   TRƯ  NG THPT LI  N SƠN      KSCL Đ  I TUY  N H SG NĂM H  C 20 20 - 20 2 1      THI   MÔN :   TOÁN   -   KH  I 10  Th  i gian làm bài: 180 phút, không k    th  i gian phát đ       thi g  m: 01   trang  Câu 1 ( 2 , 0     m) .   Tìm t  p xác đ  nh c  a hàm s          2   4  11   3  . 16  x  f   x   x   x          .  Câu   2   ( 2 , 0     m) .   Tìm   t  t c    các giá tr    c  a   tham s    m           th    hàm s        2   2   1   4 y   x   m   x            c  t tr  c hoành t  i hai đi  m phân bi  t có hoành đ    1   2 , x   x   th  a mãn   1   2   4 x   x       .  Câu   3   ( 2 , 0     m).   Cho   a   là m  t s    th  c. Xét hai t  p h  p:       ( ,   ) |   ,   , A   x y   x y   x   y   a              và      3   3  ( ,   ) |   ,   , B   x y   x y   x   y   a              . Tìm t  t c    các giá tr    c  a   a       A   và   B   không có ph  n t    chung.  Câu 4 ( 2 ,0 đi  m).   Gi     2  2 3   2   4   0  3  x   x   x   x  x                           .  Câu   5   ( 2 ,0 đi  m).   Cho phương tr    2  9   9 x   x   x   x   m                   . Tìm   t  t c    các   giá tr    c  a  tham s    m       phương tr    có nghi  m th  c.  Câu   6   ( 2 ,0 đi  m).   Xác đ  nh d  ng c  a tam giác   ABC   bi  t các góc   A, B, C   c  a tam giác đó th  a  mãn h    th  c   sin   2  sin   cos  C  A   B      .  Câu 7 ( 2 ,0     m).   Cho tam giác đ  u   . ABC     m   M   thay đ  i n  m trong đo  n   , AB   (   M   khác  A   và   B   ). G  i   , H K   tương    ng là hình chi  u vuông góc c  a   M   trên các đo  n   BC   và   ; AC   G  là tr  ng tâm c  a tam giác   . MHK   Ch  ng minh r  ng đư  ng th  ng   MG   luôn đi qua m  t đi  m c     nh.  Câu 8 ( 2 ,0 đi  m).   Cho tam giác   ABC   có      0  ,   ,   60 AB   c AC   b BAC          .   Các đi  m   M, N     c xác    nh b  i   2   ,   2 MC   MB NB   NA                  . Tìm   h    th  c liên h    gi  a   b, c       AM   và   CN   vuông góc v  i  nhau.  Câu   9   ( 2 ,0 đi  m).   Gi     2   2  2   2  2   4   5   5  2   2   1  x   xy   y  x   y   x   y                              .  Câu   10   ( 2 ,0 đi  m).   Cho các s     ,   , x y z   th         2   2   2   1 x   y   z          . Tìm giá  tr    xy   yz   zx  A   z   x   y           .  ------ H  t ------  Thí sinh không đư  c s    d  ng tài li  u và máy tính c  m tay.  Cán b    coi thi không gi  i thích gì thêm.  H    và tên thí sinh:...............................................; S    báo danh........................ ....S    GD&ĐT V   TRƯ  NG   THPT LI  N SƠN      KSCL Đ  I TUY  N H  C SINH GI  I KH  I 10  NĂM H  C 20 20 - 20 21    I. LƯU     -   Hư  ng d  n ch  m ch    trình bày m  t cách gi  i v  i nh  ng ý c   n ph  i có. Khi ch  m bài h  c  sinh làm theo cách khác n  u         n cho đi  m t  i đa.  -     m toàn bài tính đ  n 0,5 và không làm tròn.  II. ĐÁP ÁN:  Câu   N  i dung trình bày     m  1   Tìm t  p xác đ  nh c  a hàm s  :         2   4  11   3  . 16  x  f   x   x   x          .   2 ,0  Hàm s    xác đ  nh  2  4  0  16   0  x  x                     .   0,5          2   2   2  0   0  4   4   0   4   0  x   x  x   x   x                                    0,5  0   2   0  2   2   0   2  x   x  x   x                                             0,5  T  p xác đ  nh c  a hàm s    là             2;0   0; 2 D            0,5  2  Tìm t  t c    các giá tr    c  a   m           th    hàm s        2   2   1   4 y   x   m   x             c  t tr  c  hoành t  i hai đi  m phân bi  t có hoành đ    1   2 , x   x   th  a mãn   1   2   4 x   x       2 ,0  Xét phương tr        2   2(   1)   4   0   * x   m   x                    th    c  t tr  c hoành t  i hai đi  m phân bi  t có hoành đ    1   2 , x   x   th  a mãn  1   2   4 x   x       thì (*)ph  i có 2 nghi  m phân bi  t th  a mãn   1   2 ,   0 x   x     0,5  '   0  0   1  0  S   m  P                         0,5  Ta có       1   2  1   2  2   1  4  x   x   m  x x                      0,5  1   2   1   2   1   2 4   2   16   5 x   x   x   x   x x   m                         . V  y   5 m      0,5  (Đáp án có   05   trang)

Đề KSCL đội tuyển HSG Toán 10 năm 2020 – 2021 trường Liễn Sơn – Vĩnh Phúc

SỞ GD VÀ ĐT HÀ NỘI  TRƯỜNG THPT PHÙNG KHẮC  KHOAN - THẠCH THẤT  KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG  NĂM HỌC 2020      2021  MÔN THI: TOÁN 1 0  Thời gian làm bài: 150 phút  (Không kể thời gian phát đề)    Câu 1 ( 2, 5     Cho parabol   (P) : 2      4 y   x   x =   +   và các đường thẳng ( d m ): 3   2   1 y   x   m =   +   +   ( m   là  tham số)  Biện luận số giao điểm của   (P)   và ( d m ) theo tham số   m .  Câu 2 ( 4, 5     Gi  i các b  t phương trình sau :  a / (   )  1   1   0 3   2  f   x   x  =          b / 2   2  5   4   5   5   28 x   x   x   x  Câu 3 (5 điểm)  1 /   Cho l  c giác ABCDEF   có AB vuông góc v  i EF và hai tam giác ACE   và BDF   có  cùng tr  ng tâm. Ch  ng minh r  ng 2   2   2  AB   EF   CD +   =   .  2 /   Cho t am giác   ABC   có các góc tho    mãn h    th  c: cot   cot   cot A   C   B   +   =   .  a .Ch  ng minh r  ng 2   2   2  cot   4  b   c   a A   s  +    =  b .   Xác định góc giữa hai đường trung tuyến 1 AA   và 1 CC   của tam giác   ABC   khi 1 2   =   .  Câu 4 ( 3 , 0     Trong mặt phẳng với tọa độ Oxy, cho tam giác ABC, BE và CD là các đường cao  của tam giác.Giả sử D(2;0), E(1;3) và đường thẳng BC có phương trình   : y = 1   -   2x  a/ Tìm tọa độ của M biết   M là trung đi  m c  a BC  b/ Tìm tọa độ của điểm B biết B có hoành độ dươ ng  Câu 5 ( 2     Tìm m đ    phương trình: 2  4   4   2 16 x   x   x   m +   +      +      =   có nghi  m duy nh  t.  Câu 6 ( 3   Cho các số thực x, y, z thỏa mãn x + y + z = 0, x 2   + y 2   + z 2   = 8. Tìm giá trị nhỏ nhất  của biểu thức S   x   y   z =   +   +  -------------------- H  T --------------------  Thí sinh không mang tài li  u và máy tính vào phòng thi  Giám th    không c  n gi  i thích gì th  m  Họ và tên thí sinh: ................................................Số báo danh: ............................  Họ và tên, chữ kí   CBCT   1: ..................................................................................  Họ và tên, chữ kí   CBCT   2: ..................................................................................        m     -   N   - 2021   Trang   1 /4 trang  SỞ GD VÀ ĐT HÀ NỘI  TRƯỜNG THPT PHÙNG KHẮC  KHOAN - THẠCH THẤT  KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG  NĂM HỌC 2020      2021         MÔN THI: TOÁN 1 0  Lưu ý: Điểm toàn bài lấy điểm lẻ đến 0,25; thí sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm  tối đa.  Nội dung     Câu  1   ( 2,5    Cho   parabol   (P) : 2      4 y   x   x =   +   và   các      thẳng   ( d m ): 3   2   1 y   x   m =   +   +  ( m   là tham số)  1) Biện luận số giao điểm của   (P)   và ( d m ) theo tham số   m .  2 ,5  Xét phương trình hoành độ:   x 2      2x + 4 = 3x + 2m + 1   x 2      5x + 3      2m = 0   (1). T a có:    = 8m + 13  1  +) Nếu 13   (   >0) 8  m         thì (1) có hai nghiệm phân biệt, do đó ( d m ) cắt ( P )  tại hai điểm phân   biệt.  0,5  +) Nếu (   )  13   0 8  m   = −      thì (1) có 1 nghiệm kép, do đó ( d m ) cắt ( P ) tại  một điểm.  0,5  +)   N  u (   )  13   0 8  m         thì (1) vô nghiệm, do đó ( d m ) không cắt ( P ).   0, 5  Câu  2 ( 5 ,    Gi  i b  t phương trình:   1/ (   )  1   1   0 3   2  f   x   x  =         2, 0  a  Ta có 1   1   1   1 0   0 3   2   3   2 x   x                     . (   )  5   0 2.   3  x x          0 ,5    t t   x =   , bpt tr    thành (   )  5   0 2   3  t t         . Cho 5   0   5 t   t    =      =   Cho 3   0   3 t   t    =      =  0 ,5  B  ng xét d  u  0,5  Căn c    b  ng xét d  u ta đư  c 3 x      hay 5 x      .  0,5

Đề học sinh giỏi Toán 10 năm 2020 – 2021 trường Phùng Khắc Khoan – Hà Nội

Bài 1.   (5    m)  1.   Tìm tham s  , b c   sao cho hàm số 2  ( ) y   f   x   x   bx   c             có đồ thị là một đường parabol với    ( 2;5). I     2.   L      hàm số 3   2   4 . y   x   x             T      m   sao cho ph   2   4 x   x   m          có nghi   Bài 2.   (4     1.   Giải   ph  ng trình 2  4   1   2   1   (   1)(   2   1   1). x   x   x   x                     2.   Bi  2  ( )   2   0,   . f   x   x   mx   n   x                Tìm   tham   s  , m n      bi    thức 5 P   m   n   n             Bài 3.   (2     Giải hệ phương trình 2  2   3   . 2   2   3  x   y x   y                       Bài 4.   (8     1.   Cho hình ch  ABCD   v  3   2,   3. AB   AD       G    O   là giao     chéo   AC   và   BD, I   và   G   l        CD   và   OB .  a)   Chứng minh rằng 1 (   ) 4  OG   AB   AD       và 1   3   . 4   4  IG   AB   AD      b)   Ch  ng minh r  g . AI   IG   c)   Tìm t        M   sao cho 2   2   2   2   37. MA   MB   MC   MD            2.   Cho tam giác   ABC   có 0  ,   60 . BC   a BAC       Tam giác   ABC   có hai      BM  và   CN   vuông góc v     G . Tính theo   a   di     ABC.  Bài 5.   (1    m)  Cho tam giác   ABC   có chu vi b  ng 3 và      dài 3 c  nh c  a tam giác là   a, b, c . Ch    r  ng 3   3   3  4(   )   15   27. a   b   c   abc            ..................... H    .....................  Họ và tên thí sinh:....................................................SBD:..................  SỞ GD&ĐT   HÀ NỘI LIÊN   CỤM TRƯỜNG THPT THANH XUÂN    CẦU GI  MÊ LINH    SÓC S        MÔN TOÁN L   Thời gian làm bài: 150 phút  (      01 trang )  KÌ THI OLYMPIC LIÊN   CỤ M TR    THANH XUÂN- CẦU GIẤY , MÊ LINH-SÓC S        Năm họ c: 2020-2021  ............o0o...........  B         B    1  (5     1. 1. Vì parabol có     ( 2;5) I      nên 2 2  b      1,0 và ( 2)   5 f         (ho  5 4 a     )   1,0 Khi    4 4   2   5  b b   c                 0,75 4. 9  b c          V    0,75  1. 2.   Ta có: 3   2   4 khi   2   3   7 khi   2 3   2   4   . 3   4   2   khi   2   1 khi   2  x   x   x   x   x y   x   x   x   x   x   x   x                                                                   0,5 -Hàm s        (2;   ),    hàm s     (   ;2).   0,5 -BBT -1  2   +   +  +   -   y  x  -Ta có: 3   2   4   3, PT   x   x   m                   t     3   1   2. m   m            0,5  2. 1.    1 . 2  x     PT 2   1(   2   1   1)   (   1)(   2   1   1) x   x   x   x                        0,5 (   2   1   1)(   2   1   1)   0 x   x   x                     0,5 +) 2   1   1   0   2   1   1   2   1   1   1(   ). x   x   x   x   TM                                  0,5 +) 2  1   0 2   1   1   0   2   1   1   2   1   (   1)  x x   x   x   x   x   x                                            0,5

Đề Olympic Toán 10 năm 2020 – 2021 liên cụm trường THPT – Hà Nội

S    GD -     AN   KÌ THI CH  N H  C SINH GI  I C  P   T RƯ  NG  TRƯỜNG THPT DIỄN CHÂU 2   NĂM HỌC 2020-2021  Môn: TOÁN 1 0  Th  i gian làm bài:   150   phút   ( không k    giao đ  )  Câu 1. (2,0 điểm)   Cho hàm số         2  f   x   ax   bx   c          . Biết          f   x   là  Parabol       P   có đỉnh       2;   2    ,       P   cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2.  a. Tìm       . f   x  b. Xét phương trình:             1   4   , f   x   x   f   m             (   m   là tham số thực). Tìm tất cả  các giá trị nguyên của   m      có nghiệm       0;3 x      .  Câu 2.   a.   (1,5 điểm)   Giải phương trình:   2   2  5   10   1   7   2 x   x   x   x                .  b.   (2,0 điểm)   Giải hệ phương trình:  1   2  1   2.  x   y  y   x                          Câu 3.   a.   (1,0 điểm)   Cho tam giác   ABC   có trọng tâm   G   . Gọi   , E F   là các điểm  thỏa mãn   2   ,5   2 AE   AB   AF   AC                      . Chứng minh ba điểm   ,   , G E F   thẳng hàng.  b.   (1,0 điểm)   Cho tam giác   ABC   có ba cạnh   , , a b c   (với   b   c    ), biết nửa chu vi bằng  10, góc      0  60 CAB      . Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác đó bằng   3   . Tính độ  dài đường trung tuyến   . a m  Câu 4. (1,5 điểm)   Trong mặt phẳng       Oxy   , cho tam giác   ABC   có       3;4 A   , trực  tâm       1;3 H   và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác   ABC   là       2;0 I   . Viết phương  trình các đường thẳng   AH   và   . BC  Câu 5. (1,0 điểm)   Cho các số thực không âm   1   2   3   4   5   1   2   3   4   5 ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   , x   x   x   x   x   y   y   y   y   y   thỏa  mãn các điểu kiện:   2   2   2   2   2   2   2   2   2  1   1   5   5   1   2   3   4   5 1;...;   1;   1. x   y   x   y   x   x   x   x   x                           Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:   1   2   3   4   5  1   2   3   4   5  .  y   y   y   y   y  T   x   x   x   x   x                           ---HẾT--  

Đề thi HSG Toán 10 năm 2020 – 2021 trường THPT Diễn Châu 2 – Nghệ An

Đề Olympic tháng 4 Toán 10 năm 2020 – 2021 sở GD&ĐT TP Hồ Chí Minh

SỞ   GIÁO   DỤC   VÀ      TẠO   HÀ   NỘI  TRƯỜNG   THPT   LƯU   HOÀNG    NĂM HỌC 20 20      202 1  Môn thi:   Toán   -   Lớp: 10  (Thời gian làm bài: 120   phút, không kể   thời gian   giao đề)  Câu 1   ( 4    ). Cho parabol       2  : P   y   x   bx   c          ( , b c   là các tham số thực) .  a) Tìm giá trị của , b c   biết parabol     P        3;2 M      và có trục đối xứng là đường thẳng 1 x      . b)   Với   giá trị của , b c   tìm được ở câu a), tìm m    : d   y   x   m      cắt parabol     P   tại hai điểm phân biệt , A B   sao cho tam giác OAB   vuông tại O   (với O  là gốc tọa độ).  Câu 2   ( 7    ).  a) Giải phương trình: 2   2  3   3   3   6   3 x   x   x   x                   . b)   Tìm m      phương   trình 2 2  2   1 3   4  x   mx x   x               vô   nghiệm.  c)   Giải hệ phương trình: 2   2   2   1   5 3   2   1   3   2  x   y   x   y x   y   y   x                                       .  Câu 3   ( 2    ).   Trong mặt phẳng tọa độ Oxy   , cho hai điểm     1;1 A      và     2;4 B   . Tìm  tọa độ điểm C   sao cho tam giác ABC   vuông cân tại A   .  Câu 4   ( 5    ). Cho tam giác ABC   có M   là trung điểm AC   , N   là điểm thuộc cạnh BC  thỏa mãn 2 NC   NB    . Gọi I   là trung điểm của MN   . a)   Chứng minh rằng: 2   1 3   3  IN   IB   IC       . b)   Biểu diễn vectơ IA   theo hai vectơ IB   và IC   . c)   Giả sử độ dài các cạnh ,   , BC   a CA   b AB   c          . Chứng minh rằng:  Nếu 3 .   4 .   5 .   0 a IA   b IB   c IC          thì tam giác ABC     Câu 5   ( 2    ). Cho   ba số thực ,   , x y z   thỏa mãn 1,   1,   1 x   y   z          và 1   1   1   2  x   y   z           .  Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức           1   1   1 A   x   y   z             . ---------- HẾT ----------  Cán   bộ   coi thi không   giải   thích gì thêm!  Họ   và tên thí sinh: ......................................   Số   báo danh: ................  Chữ   ký giám   thị   coi thi   số   1:   Chữ   ký giám   thị   coi thi   số   2:  SỞ   GIÁO   DỤC   VÀ      TẠO   HÀ   NỘI  TRƯỜNG   THPT   LƯU   HOÀNG  HƯỚNG DẪN CHẤM  KỲ   THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG  NĂM HỌC 20 20      202 1  Môn thi:   Toán   -   Lớp: 10  I.   Hướng dẫn chung  II. Đáp án và thang điểm  Câu       Câu 1  (4 điểm)  a) Cho parabol       2  : P   y   x   bx   c          ( , b c   là các tham số thực). Tìm giá trị của , b c  biết parabol     P      qua điểm     3; 2 M      và có trục đối xứng là đường thẳng 1 x      .  Do parabol     P   có tr  c đ  i x  ng là đư  ng th  ng 1 x      nên ta có 1   2 2  b   b            .   1  Do parab ol     P     m     3; 2 M      nên ta có            2  2   3   .   3   3   7 b   c   c   b                    3.2   7   1 c            .  Vậy 2,   1 b   c       .  1  b)   Với giá trị của , b c   tìm được ở câu a), tìm m    : d   y   x   m       cắt  parabol     P   tại hai điểm phân biệt , A B   sao cho tam giác OAB   vuông tại O   (với O  là gốc tọa độ).  Với 2,   1 b   c       ta có       2  :   2   1 P   y   x   x          .  Phương trình hoành độ giao điểm của     P   và d   là 2   2  2   1   3   1   0 x   x   x   m   x   x   m                           (1)   d   cắt     P   tại 2 điểm phân biệt thì phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt 13 13   4   0   4  m   m               .  0.5  Khi đó giả sử 2 nghiệm của phương trình (1) là 1   2 , x   x   lần lượt là hoành độ 2 điểm , A B  .  Do                       1   1   2   2   1   1   2   2 ,   ;   ,   ;   ;   ,   ; A B   d   A x   x   m   B x   x   m   OA x   x   m   OB x   x   m                                  .  0.5  Tam giác OAB   vuông tại O   khi và chỉ khi                2 1   2   1   2   1   2   1   2 .   0   .   0   2   .   0 OA OB   x x   x   m   x   m   x x   m x   x   m                                 (2)   0.5  Do 1   2 , x   x   là 2 nghiệm của phương trình (1) nên theo định lí   Vi - et ta có 1   2 1   2  3 1  x   x x x   m                Khi đó (2)       2   2   1 2(   1)   .   3   0   2   0   2  m m   m   m   m   m   m                                         .  Kết hợp với điều kiện 13 4  m      ta có các giá trị của m   cần tìm là 1,   2 m   m       .  0.5  Câu 2  ( 7     a)   Giải phương trình: 2   2  3   3   3   6   3 x   x   x   x                   .  Phương trình đã cho tương đương với 2   2  3   3   1   3   6   2   0 x   x   x   x                      0.5  

Đề thi HSG Toán 10 năm 2020 – 2021 trường THPT Lưu Hoàng – Hà Nội

TRƯỜNG THPT VÕ THÀNH TRINH  CÂU LẠC BỘ TOÁN HỌC   Môn:   Toán 10  Ngày thi:   05/03/2022  Thời gian làm bài:   180 phút  Bài 1.   Cho phương trình   2 x 4   + ( m   +   1 ) x 3      36 x 2   +   2 ( m   +   1 ) x   +   8   =   0   ( 1 ) , với   m   là tham số thực.  1   Giải phương trình   ( 1 )   với   m   =   2 .  2   Tìm tất cả các giá trị của   m      ( 1 )   có đúng   2   nghiệm thực.  Bài 2.   Giải phương trình   6 x 2      ( 4 x      1 )  2 x 2      3 x   +   2      7 x   +   1   =   0   trên tập số thực.  Bài 3.   Cho tam giác   ABC   có trọng tâm   G .   M   là một điểm bất kỳ.  1   Chứng minh rằng   #     MA      # »  BC   +   #     MB      # »  CA   +   #     MC      # »  AB   =   0 .  2   Xác định vị trí của điểm   M      T   =   MA 2   +   MB 2   +   MC 2     Bài 4.   Trong mặt phẳng tọa độ   Oxy , cho điểm   M ( 2; 1 ) . Một đường thẳng đi qua điểm   M   cắt tia   Ox ,   Oy   theo thứ tự tại   A ( a ; 0 ) ,   B ( 0;   b ) . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức   1  OA 2   +   1  OB 2   .  Bài 5.   Cho các số thực dương   a ,   b ,   c   thỏa mãn   a   +   2 b   +   3 c   =   20 . Chứng minh rằng  a   +   b   +   c   +   3  a   +   9 2 b   +   4  c      13.    Lưu ý: Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay để làm bài. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.     1

Đề chọn HSG Toán 10 năm 2021 – 2022 trường THPT Võ Thành Trinh – An Giang

Câu 1. (3.0 điểm) .   Cho hàm số       m P m x x y   ; 4 4 2         . a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với   1  m   . b) Tìm m để       m P   cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt có hoành độ cùng thuộc đoạn       4 ; 1   Câu 2. (3.0 điểm)   Cho   1 x   và   2 x   là hai nghiệm của phương trình   0 3 2        a x x   ;   3 x   và   4 x   là hai nghiệm của phương trình   0 12 2        b x x   . Biết rằng   3 4 2 3 1 2  x x x x x x       . Tìm a và b.  Câu 3. (6.0 điểm)  a)Giải phương trình:         0 1 2 2         x x x  b)Giải hệ phương trình:                     y x x x y y x x x  1 4 7 1 6 4 2 4 3   3 2 3  Câu 4. (3.0 điểm)  a)   Cho   tam   giác   OAB.      b OB a OA       ,   .   Gọi   C,   D,   E   là   các      sao   cho  OA OE OB OD AB AC   3  1 , 2 1 , . 2        . Hãy biểu thị các vectơ   DE CD OC   , ,   theo các vectơ   b a ,   . Từ  b) Cho tam giác   ABC   vuông cân tại   A , có trọng tâm   G . Gọi   E,H   lần lượt là trung điểm của các cạnh   AB ,   BC ;   D   là điểm đối xứng với   H   qua   A . Chứng minh   ED EC     Câu 5. (3.0 điểm)   Trên mặt phẳng tọa độ cho hai điểm             4 ; 2 ; 1 ; 1   B A      . a) Tìm điểm   C   trên trục   Ox   sao cho tam giác   ABC   vuông tại   B . b) Tìm điểm   D   sao cho tam giác   ABD   vuông cân tại   A.  Câu 6. (2.0 điểm)   Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn   2019     y x   . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức   y y x x P         2019 2019 -----------------Hết-----------------  Họ và tên thí sinh :....................................................... Số báo danh ............................. Họ và tên, chữ ký: Giám thị 1:........................................................................................ Họ và tên, chữ ký: Giám thị 2:........................................................................................  SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO  TRƯỜNG THPT THUẬN THÀNH 2     NĂM HỌC 2018 – 2019  Môn thi : Toán – Lớp 10 – THPT  Thời gian làm bài :   150 phút   (không kể thời gian giao đề)   SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO  TRƯỜNG THPT THUẬN THÀNH 2 HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG  NĂM HỌC 2018 - 2019  Môn: Toán – Lớp 10 – THPT Câu       1   Cho hàm số       m P m x x y   ; 4 4 2         . a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với   1  m  b) Tìm m để       m P   cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt có hoành độ cùng thuộc đoạn       4 ; 1   3.0  a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với   1  m   2.0  Với   m=1   thì   3 4 2        x x y  TXĐ: R. Đồ thị là 1 parabol, có:Đỉnh   ( I   2;-1). hệ số   0 1     a   parabol có bề lõm hướng lên trên  0.5 0.5  Lập BBT Tìm giao của parabol với trục hoành, trục tung và vẽ.  0.5 0.5  b) Tìm m để       m P   cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt có hoành độ cùng thuộc đoạn       4 ; 1    1.0  Xét pt hoành độ giao điểm   1 3 4 0 4 4   2 2              m x x m x x  Dựa vào đồ thị tìm được   4 0 3 1 1            m m  Chú ý: HS có thể dùng bảng biến thiên cho hàm   3 4 2        x x y   hoặc   4 4 2        x x y   ...  0.5 0.5  2   Cho   1 x   và   2 x   là hai nghiệm của phương trình   0 3 2        a x x   ;   3 x   và   4 x   là hai nghiệm của phương trình   0 12 2        b x x   . Biết rằng 3 4 2 3 1 2  x x x x x x       . Tìm   a   và   b .  3.0                0 36 0 4 9 ' 2 1  b a   3 4 2 3 1 2  x x x x x x k                   1 3 3 4 1 2 2 3 1 2  x k kx x x k kx x kx x  0.5 0.5  Theo định lý viet ta có hệ                         b k x a k x k k x k x  5 2 1 2 1 2 1 1 12 1 3 1 2      k  0.5 0.5  Với   2  k   thì   1 1    x   ta được   32 , 2       b a   (tm)   0.5  Với   2   k   thì   3 1     x   ta được   288 , 18         b a   (tm)   0.5  3   1. Giải phương trình:         0 1 2 2         x x x   2.0     1  x   0.5

Đề thi HSG Toán 10 cấp trường năm 2018 – 2019 trường Thuận Thành 2 – Bắc Ninh

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG  KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2016 - 2017 MÔN THI: TOÁN  Th  i gian làm bài: 180 phút Ngày thi: 05/4/2017  (    thi g  m 01 trang )  Câu I (2,0 điểm)  Cho hàm số   2   2 2(   1)   1   (1) y   x   m   x   m                , (   m   là tham số). 1) Tìm giá trị của   m      , A B   sao cho tam giác   K AB   vuông tại   K   , trong đó   (2;   2) K      . 2) Tìm giá trị của   m     Câu II (3,0 điểm)  1) Giải hệ phương trình 2 2 2   4 1   1   3  x   y   y   x   xy x x   xy   y                          2)   Giải phương trình   2   2 (   3   1)(   4   3)   2 x   x   x   x   x   x                     3) Giải bất phương trình   2   2   2 (   3   2)(   12   32)   4 x   x   x   x   x               Câu III (3,0 điểm)  1)   Cho hình bình hành   A BCD   . Gọi   M   là trung điểm cạnh   CD   ;   N   là điểm thuộc cạnh   AD  sao cho   1 3  AN   AD    . Gọi   G   là trọng tâm tam giác   BMN   , đường thẳng   A G   cắt   BC   tại   K   . Tính tỉ số   BK BC   . 2) Cho tam giác   A BC   không có góc vuông và có các cạnh   ,   , BC   a CA   b   AB   c          . Chứng minh rằng nếu tam giác   A BC   thỏa mãn   2   2   2 2 a   b   c       và   tan   tan   2 tan A   C   B       thì tam giác  A BC    3) Trong mặt phẳng tọa độ   Oxy   , cho   A BC    cân tại   C   và có diện tích bằng 10. Đường thẳng  AB   có phương trình   2   0 x   y       . Điểm       4; 2 I   là trung điểm cạnh   A B   , điểm   9 4; 2  M                 thuộc đường thẳng   B C   . Tìm tọa độ các điểm   ,   , A   B C   biết điểm   B   có tung độ là số nguyên.  Câu IV (1,0 điểm)  Một nông trại dự định trồng cà rốt và khoai tây trên khu đất có diện tích 5   ha . Để chăm bón các loại cây này, nông trại phải dùng phân vi sinh. Nếu trồng cà rốt trên 1   ha   cần dùng 3 tấn phân vi sinh và thu được 50 triệu đồng tiền lãi. Nếu trồng khoai tây trên 1   ha   cần dùng 5 tấn phân vi sinh và thu được 75 triệu đồng tiền lãi. Hỏi nông trại cần trồng mỗi loại cây trên diện tích là bao nhiêu để thu được tổng số tiền lãi cao nhất? Biết rằng số phân vi sinh cần dùng không được vượt quá 18 tấn.  Câu V (1,0 điểm)  Cho các số thực dương   , , a b c   . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  2   2   2  ab   bc   ca P   a   ab   bc   b   bc   ca   c   ca   ab                          ........................................ Hết ......................................  Họ và tên thí sinh: ....................................................................... Số báo danh: ............................. Giám thị coi thi số 1: ............................................... Giám thị coi thi số 2: ....................................  SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG  HƯỚNG DẪN CHẤM  THPT – NĂM HỌC 2016 - 2017 MÔN: TOÁN ( H  ng d  n ch  m g  m 5 trang )  Câu   Nội dung    Câu I.1 1,0 đ   Cho hàm số   2   2 2(   1)   1   (1) y   x   m   x   m                (   m   là tham số). Tìm giá trị của   m      , A B   sao cho tam giác   K AB   vuông tại   K   , trong đó   (2;   2) K      .  Phương trình hoành độ giao điểm 2   2   2   2 2(   1)   1   0   2(   1)   1   0 x   m   x   m   x   m   x   m                                     (2)   0,25    , A B   khi và chỉ khi phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt   2   2 '   0   (   1)   1   0   2   2   0   1 m   m   m   m                                  .   0,25 Gọi các nghiệm của phương trình (2) là   1   2 , x   x   . Tọa độ các giao điểm   , A B   là   1   2 (   ;0),   (   ;0) A x   B x   ;   1   2 (   2; 2),   (   2; 2) KA   x   KB   x                  .   0,25 1   2   1   2   1   2 .   0   (   2)(   2)   4   0   2(   )   8   0 KA   KB   KA KB   x   x   x x   x   x                                         2   2   1 1   2.2(   1)   8   0   4   3   0   3  m m   m   m   m   m                                        . Kết hợp điều kiện   1 m      , ta được   1 m      ,   3 m      . 0,25  Câu I.2 1,0 đ  Tìm   giá trị của   m     2   2   2   2   2   2 2(   1)   1   2(   1)   (   1)   (   1)   1 y   x   m   x   m   y   x   m   x   m   m   m                                             2 (   1)   2   2 y   x   m   m                   .   0,25 2   2 y   m          .   0,25 Dấu   "   "    xảy ra khi   1 x   m       . Giá trị lớn nhất của hàm số là   2   2 m      .   0,25 Giá trị lớn nhất của hàm số bằng 6 khi   2   2   6   2 m   m             .   0,25  CâuII.1 1,0 đ  Giải hệ phương trình 2 2 2   4   (1) 1   1   3   (2)  x y   y   x   xy x x   xy   y                             0,   0 x   y       . Chia hai vế của (1) cho   x y   ta có phương trình   2   1   4 x   x   y           .   0,25 2 1   1   1   1   1   1   1   1   1   1 3   3   4 1   1   1   4  x   x   x x   xy   y   x   x   y   y   x   x   y   y   x x   x   y   x                                                                                                                     0,25

Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh môn Toán 10 năm học 2016 – 2017 sở GD và ĐT Hải Dương

Đề thi Olympic Toán 10 năm 2017 – 2018 cụm trường Thanh Xuân & Cầu Giấy – Hà Nội

SỞ GD & ĐT NGHỆ AN TRƯỜNG THPT CON CUÔNG   NĂM HỌC 2017 – 2018  Môn :   TOÁN  Thời gian:   150 phút   ( không k    th  i gian phát    )  Câu 1. (5,0    i  m)  Cho phương trình bậc hai   2   5   0 x   x   m          (1) với x là ẩn số. a) Giải phương trình (1) khi m = 6. b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm dương x   1, x   2   thoả mãn   1   2   2   1 x   x   x   x   6       .  Câu 2.   (3,0    i  m)  Giải hệ phương trình: 2   3   2 4   2 1 (2   1)   1  x   x y   xy   xy   y x   y   xy   x                                   Câu 3. (5,0    i  m)  a) Cho góc     thỏa mãn   tan   2        . Tính giá trị biểu thức   3   3 4sin   cos sin   2 cos  P              b) Cho tam giác ABC. Gọi D, E lần lượt là các   2   1 BD   BC; AE   AC 3   4                       . Điểm K trên đoạn thẳng AD sao cho 3 điểm B, K, E thẳng hàng. Tìm tỉ số   A D AK   .  Câu 4.   ( 5,0    i  m).  Trong mặt phẳng tọa độ 0xy cho tam giác ABC vuông tại B, AB = 2BC, D là trung điểm AB, E là điểm thuộc đoạn AC sao cho AC = 3EC, có phương trình   :   3   1   0 CD x   y       ,   16;1 3  E               . a) Chứng minh rằng BE là phân giác trong của góc B, Tìm tọa độ điểm I là giao của CD và BE. b) Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C, biết A có tung độ âm.  Câu 5.   (2,0    i  m)   Cho   c , b , a   là các số thực dương thoả mãn   1      c b a   . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức   2   2   2 1   1  P   a   b   c   abc            .  ---- H  t ----  Họ tên thí sinh :........................................................................... Số báo danh :.....................................HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC  (Hướng dẫn chấm gồm 04 trang)  Câu   Nội dung    1.   Phương trình   2   5   0 x   x   m          5,0 a)   Giải phương trình (1) khi   6 m      1,5  Khi   6 m      PT (1) có dạng:   2   5   6   0 x   x          0,5 Ta có:   '   4   1   5   0             0,5 PT (1) có 2 nghiệm phân biệt:   1   2 x      và   2   3 x      0,5  b)   Tìm giá trị m thỏa mãn   3,5  Lập ∆ = 25 - 4m Phương trình có 2 nghiệm   1   2 , x   x   khi ∆ ≥ 0 hay m      25 4 0,5    1   2   1   2 5; x   x   x x   m         Hai nghiệm   1   2 , x   x   dương khi   1   2 1   2 x   x   0 x x   0     +   >       >    hay m > 0.   0,5    1, x   2   là   0 < m      25 4   (*)   0,5 Ta có:   (   ) 2 1   2   1   2   1   2 x   x   x   x   2   x .x   5   2   m +   =   +   +   =   +  Suy ra   1   2 x   x   5   2   m +   =   +  Ta có       1   2   2   1   1   2   1   2 x   x   x   x   6   x .x   x   x   6               Hay   m   5   2   m   6   2m   m   5m   36   0                   (1) 0,5    t   m   0       , khi đó (1) thành:     2t   3   + 5t   2   - 36 = 0     (t - 2)(2t   2   + 9t + 18) = 0 0,5     t - 2 = 0 hoặc 2t 2   + 9t + 18 = 0 Với t - 2 = 0 => t = 2 => m = 4 (thoả mãn (*)). Với 2t   2   + 9t + 18 = 0 : phương trình vô nghiệm. 0,5 Vậy với m = 4 thì phương trình đã cho có hai nghiệm dương x   1, x   2   thoả mãn   0,5

Đề thi chọn HSG cấp trường Toán 10 năm 2017 – 2018 trường THPT Con Cuông – Nghệ An

Đề thi chọn HSG Toán 10 THPT năm học 2018 – 2019 sở GD&ĐT Vĩnh Phúc

(    thi g  m 1 trang)  KỲ THI HỌC SINH GIỎI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ LẦN THỨ XII, NĂM 2019   Th  i gian: 180 phút (Không k    th  i gian giao    ) Ngày thi: 20/4/2019  Câu 1. ( 4 điểm )  Giải hệ phương trình              2   2 2 3 1   1   2   , 2   5   1   2   2   4   2  y   y   y   x   x y x   x   x   x   y                                                  .  Câu 2. ( 4 điểm )  Cho tam giác   A BC   có   A B   AC    , các điểm   ,   , D E F   lần lượt nằm trên các cạnh   ,   , B C CA AB   sao cho ||   ,   || DE   AB DF   AC   . Đường tròn ngoại tiếp tam giác   A BC   cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác   A EF   tại các điểm   , A   G   . Đường thẳng   DE   cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác   AEF   tại điểm       H   H   E    . Đường thẳng qua   G   vuông góc với   GH   cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác   A BC   tại điểm       K   K   G    , đường thẳng qua   G   vuông góc với   GC   cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác   A EF   tại điểm       L   L   G    . Gọi   , P Q  lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác   , GDK GDL   . Chứng minh rằng khi điểm   D   thay đổi trên cạnh   BC   thì: a) Đường tròn ngoại tiếp tam giác   GEF   luôn đi qua hai điểm cố định. b) Đường tròn ngoại tiếp tam giác   GPQ   luôn đi qua một điểm cố định.  Câu 3. ( 4 điểm )  Tìm tất cả các số nguyên dương   , m n   và số nguyên tố   p   thỏa mãn      3   2 4   40   2 11   5 . n m   m   m   p            Câu 4. ( 4 điểm )  Cho 3 số thực dương   , , a b c   . Chứng minh rằng: (   2   )   (   2   )   (   2   )   0 1   1   1  a a   b   c   b b   c   a   c c   a   b ab   bc   ca                                 Câu 5. ( 4 điểm )  Cho bảng ô vuông kích thước   100   100    mà mỗi ô được điền một trong các ký tự   ,   ,   , A   B C D   sao cho trên mỗi hàng, mỗi cột của bảng thì số lượng ký tự từng loại đúng bằng   25.   Ta gọi hai ô thuộc cùng hàng (không nhất thiết kề nhau) nhưng được điền khác ký tự là    , còn hình chữ nhật có các cạnh song song với cạnh hoặc nằm trên cạnh của bảng và bốn ô vuông đơn vị ở bốn góc của nó được điền đủ bốn ký tự   ,   ,   , A   B C D   là     a) Hỏi trong các cách điền ở trên, có bao nhiêu cách điền mà mỗi bảng ô vuông   1   4, 4   1       và   2   2     chứa đủ các ký tự   ,   ,   ,   ? A   B C D  b) Chứng minh rằng với mọi cách điền thỏa mãn đề bài thì trên bảng ô vuông đã cho: i) Luôn có   2   cột của bảng mà từ đó có thể chọn ra được   76   cặp tốt. ii) Luôn có một bảng tốt.  -------------- HẾT --------------  (Thí sinh không    c s    d  ng tài li  u và máy tính c  m tay. Cán b    coi thi không gi  i thích gì thêm)  Họ và tên thí sinh: ...................................................................... Số báo danh: ................................... KÌ THI HỌC SINH GIỎI KHU VỰC DH&ĐBBB NĂM 2019 MÔN: TOÁN 10  Câu   Nội dung trình bày    Câu 1  Giải hệ phương trình               2   2 2 3 1   1   1 2 2   5   1   2   2   4   2   2  y   y   y   x x   x   x   x   y                                            .  Nguồn: Chuyên Lam Sơn- Thanh Hóa 4đ     2   4   2   0 x   y          . Từ phương trình (1), ta có: 2   2   2 2   4   2   1   2 .   1 x   y   y   y   y   y                         2 2 2   4   2   1 x   y   y   y                   .  0,5  Thay vào phương trình (2) và chú ý rằng   2   1   0 y   y          . Lúc này ta được      2   2 2   5   1   2   1 x   x   x   y   y                                2   2 1   1   4   2   1 x   x   y   y                        2 2 1   1   1   1 2   2  x   x   y   y                                    (3)  1,0     1 2  x  u       . Từ (3) cho ta   2   2 1   1 u   u   y   y                  2   2 1   1   0 u   y   u   y                              2   2   0 1   1  u   y   u   y u   y   u   y                              2   2 1   0 1   1  u   y u   y   u   y                                     (4)  1,0  Do             2   2 2   2   2   2 1   1 1   0 1   1   1   1  u   u   y   y u   y u   y   u   y                                        Nên từ (4) cho ta   u   y    , hay   1   2   1 2  x   y   x   y                 .  0,5  Thay vào phương trình (1) ta được      2   2   5 1   1   2   2  y   y   y   y                    2 2   1   4 y   y            2   1   2 y   y             (do   2   1   0 y   y          ). Tìm được   3   5 , 4   2  y   x       . Kết luận: Hệ có đúng một nghiệm       ; x   y   là   5 3 ; 2 4               1,0

Đề thi HSG Toán 10 năm 2019 cụm trường THPT chuyên DH&ĐB Bắc Bộ

SỞ GD – ĐT THÁI BÌNH    TRƯỜNG THPT NGUYỄN ĐỨC CẢNH   MÔN : Toán lớp 10. Mã đề : 001   NĂM HỌC 2018 – 2019  Th  i gian làm bài : 90 phút không k    th  i gian giao    . A – TRẮC NGHIỆM (6 điểm) Câu 1:   Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số   2   3 1  x y   x         trên đoạn       2; 4   .  A.       2;4 min   6 y      B.       2;4 min   2 y      C.       2;4 min   3 y      D.       2;4 19 min   3  y     Câu 2:   Cho hàm số       y   f   x    xác có tập xác định là R, xét các hàm số                    1 2  F   x   f   x   f   x                  và                   1 2  G   x   f   x   f   x                  . Khẳng định nào dưới đây đúng?  A.       F   x   là hàm số lẻ và       G x   là hàm số chẵn .   B.       F   x   và       G x   là các hàm số lẻ .  C.       F   x   và       G x   là các hàm số chẵn .   D.       F   x   là hàm số chẵn và       G x   là hàm số lẻ .  Câu 3:   Cho   A BC    có trọng tâm   G .   I   là trung điểm của   BC . Tập hợp điểm   M   sao cho: 2   3 M A   MB   MC   MB   MC                             là:  A.      GI   B.      A BC   C.      AI   D.      GI  Câu 4:   Cho bất phương trình             2   2   1   1   0 f   x   mx   m   x   m                   ( m   là tham số). Gọi   S   là tập tất cả các giá trị của   m      S   chứa khoảng nào trong các khoảng dưới đây?  A.       1;0    B.       0;1   C.       1; 2   D.       2;3   Câu 5:   Tập nghiệm của bất phương trình       2   2 9   5   4   0 x   x   x             là:  A.             ;   3   3; S               B.                ;   3   1   3; S                 C.                ;   3   1   4; S                  D.                   ;   3   3; 4   4; S                 Câu 6:   Cho   6              . Tính giá trị:                        2   2 2   2 cos   cos   sin   sin sin   cos   sin   cos  P                                    .  A.   2   3 P         B.   2   3 P         C.   3   2 P         D.   3   2 P        Câu 7:   Trong mặt phẳng Oxy, phương trình đường phân giác góc nhọn của góc tạo bởi 2 đường thẳng 1   : 3   4   3   0 x   y             và   2   : 4   3   1   0 x   y             là:  A.   2   0. x   y          B.   7   7   4   0. x   y          C.   2   0. x   y          D.   7   7   4   0. x   y         Câu 8:   Có 4 người đàn ông cần đi qua một chiếc cầu rất nguy hiểm trong đêm tối. Không may là chỉ có một cây đuốc, không có đuốc thì không thể qua cầu được.Cầu rất yếu nên mỗi lượt đi chỉ được 2 người. Tuy nhiên, thời gian 4 người (A, B, C, D) qua cầu không giống nhau, lần lượt là A - 1 phút, B - 2 phút, C - 7 phút, D - 10 phút. Hỏi thời gian ngắn nhất để 4 người đàn ông qua cầu là bao lâu?  A.   21   B.   15   C.   17   D.   20  Câu 9:   Bác Thùy dự định trồng đậu và cà trên diện tích   8 a   (   2 1   100 a   m    ). Nếu trồng đậu thì cần 20 công và thu lãi 3.000.000 đồng trên mỗi   a , nếu trồng cà thì cần 30 công và thu lãi 4.000.000 đồng trên mỗi   a.   Biết tổng số công cần dùng không được vượt quá 180. Tính số tiền lãi lớn nhất thu được.  A.   24 (triệu đồng)   B.   25 (triệu đồng)   C.   27 (triệu đồng)   D.   26 (triệu đồng)  Câu 10:   Cho hàm số       f   x   xác định trên    \ 0    thỏa mãn         2 1   4   3 2   0  x f   x   f   x x   x                          . Tính       2 f   .  A.       2   3 f      B.         11 2   3  f      C.       2   4 f      D.         10 2   3  f   Câu 11:   Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình:                1   2   3   4   3 x   x   x   x                .  A.   5 2   B.   5   C.   5    D.   5 2    Câu 12:   Trong hộp có 45 bóng màu, gồm 20 màu đỏ, 15 màu xanh, và 10 màu vàng. Cần lấy ra ít nhất bao nhiêu bóng để chắc chắn có 3 bóng cùng màu được lấy ra.  A.   26   B.   7   C.   28   D.   3  Câu 13:   Trên đường tròn lượng giác, cho điểm   M   thỏa mãn   3   2 5   k         . Khi đó gọi   ',   '' M   M   lần lượt là điểm đối xứng của   M   qua   Ox, Oy.   Gọi   '   2 A M   k             ;       ''   2   0   ,   2 AM   k                         . Giá trị         là:  A.   2     B.   5       C.   9 5     D.   7 5    Câu 14:   Tìm giá trị của m để bất phương trình m²x² + 2(m – 2)x + 1 < 0 vô nghiệm  A.   m ≤ 1 và m ≠ 0   B.   m ≥ 1   C.   m < 1 và m ≠ 0   D.   m > 1  Câu 15:   Cho bất phương trình x² – 5x + 4 – 2   x   1    < 0. Số nghiệm nguyên của bất phương trình là :  A.   14   B.   2   C.   3   D.   5  Câu 16:   Cho   A BC    có:        sin   sin   1   tan   tan cos   cos   2  A   B   A   B A   B            . Khi đó   A BC    là:  A.   tam giác vuông   B.   tam giác tù   C.   tam giác nhọn   D.   tam giác cân  Câu 17:   Tìm   m      3   1 1  mx   m x            (1) có nghiệm.  A.   1 m      hoặc   3 2  m       B.   1 m      và   3 2  m       C.   3 2  m       D.   1 m     Câu 18:   Cho hệ bất phương trình:   2 4   2   1 3   2   2   1  x   m   mx x   x                        . Có bao nhiêu giá trị nguyên thuộc khoảng       10;10    của tham số   m     A.   18   B.   7   C.   10   D.   8  Câu 19:   Cho phương trình:       2 2 1   1 1   3   3   0 x   m   x   m x   x                               Tìm   m      0 x      .  A.   0 4 3  m m           B.   0 3 4  m m           C.   0 4 3  m m           D.   0 m     Câu 20:   Gọi   M, m   lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số   2 2 8   7 1  x   x y   x           . Tìm   M   m    .  A.   11 M   m       B.   8 M   m       C.   9 M   m       D.   10 M   m      B – TỰ LUẬN (4 điểm) Bài 1 :   Với giả thiết biểu thức có nghĩa hãy rút gọn :   cos 7   cos 8   cos 9   cos10 sin 7   sin 8   sin 9   sin10  x   x   x   x A   x   x   x   x                    Bài 2 : Gọi   1   2 ; x   x   là hai nghiệm của phương trình   2   2 2   2   2   0 x   mx   m             . Tìm giá trị lớn nhất   max P   của biểu thức   1   2   1   2 2   4 P   x x   x   x             .  Bài 3 : Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn         2   2 C : x   y   10x   8y   1   0                với đường thẳng :   x   y   5   0             . Qua M thuộc đường thẳng      , kẻ 2 tiếp tuyến MA, MB đến đường tròn (C) với A, B là tiếp    IAB S     ------------------------------------------ Họ và tên thí sinh :........................................................Số báo danh :...................... ( Cán b    coi thi không gi  i thích gì thêm ) ----------- HẾT ----------

Đề thi HSG Toán 10 năm 2018 – 2019 trường Nguyễn Đức Cảnh – Thái Bình

SỞ GD&ĐT QUẢNG TRỊ   KỲ THI CHỌN HSG VĂN HÓA LỚP 10, 11  TRƯỜNG THPT THỊ XÃ QUẢNG TRỊ   Khóa thi ngày 12 tháng 6   năm 20 20  Môn thi:   Toán 1 0  Thời gian làm bài:   180   phút, không kể thời gian giao đề  Câu 1   (2 điểm) :   Cho hàm số 2   4   3 y   x   x          có đồ thị là (   ) P   . Tìm giá trị của tham số m     : m  d   y   x   m       cắt đồ thị (   ) P   tại hai điểm phân biệt có hoành độ 1   2  , x   x   thỏa mãn 1   2  1   1   2.  x   x       Câu 2   (4    : a.   Giải bất phương trình: 2   2  (   3 )   2   3   1   0 x   x   x   x             .  b.   Giải hệ phương trình: 2   3   2 2   2  1 (   )   1  x   x y   xy   xy   y x   y   xy                            Câu 3   (4    :   Cho phương trình: 2  4   5   20 x   x   x   x   m                      , (1), (với m   là tham số).  a.   Giải phương trình (1) khi 3 m      .  b.   Tìm tất cả các giá trị của m     Câu 4   (4    : a.   Cho cot   3     , tính giá trị biểu thức: 3   3  2sin   3cos cos   4sin  P               .  b.   Trong mặt phẳng tọa độ Oxy   , cho hình chữ nhật ABCD   có phương trình đường thẳng AB   là 2   1   0 x   y          . Biết phương trình đường thẳng BD   là 7   14   0 x   y          và đường thẳng AC    (2;1) M   . Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD   .  Câu 5   (2    :   Cho tam giác ABC   có trọng tâm G   và điểm E   thỏa mãn 3.   0 BE   EC       .  Gọi I   là giao điểm của AC   và GE   , tính tỉ số IA IC   .  Câu 6   (2 điểm) :   Cho tam giác ABC   có chu vi bằng 20, góc 0  60 BAC      , bán kính đường tròn nội tiếp   tam giác   bằng 3   . Gọi 1   1   1  ,   , A B C   là hình chiếu vuông góc của ,   , A B C   lên ,   , BC CA AB  và M   là điểm nằm trong tam giác ABC   thỏa mãn ABM   BCM   CAM            . Tính cot     và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác 1   1   1  A B C   .  Câu 7   (2 điểm) :   Cho     x,   ,z   2019;2020 y      . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 2019.2020   2019.2020   2019.2020 ( ,   , )   (   )   (   )   (   )  xy   yz   zx f   x y z   x   y z   y   z x   z   x y                        .  ----------------- HẾT ---------------------  Thí   sinh không được sử dụng tài liệu   và MTCT (đối với môn Toán) .  Cán bộ coi thi   không giải thích gì thêm.  Họ và tên thí   sinh: ..................................... Số báo   danh: ...................    (Đề có 01 trang)   THI CHỌN HSG VĂN HÓA LỚP 10, 11 –   MÔN TOÁN  Câu   Lời giải     1)   2đ  Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và d m : 2   4   3 x   m   x   x           2   5   3   0 x   x   m               (*)  d m   cắt đồ thị (   ) P   tại hai điểm phân biệt khi (*) có 2 nghiệm phân biệt 1   2  , x   x 13 25   12   4   0   4  m   m                     . Khi đó 1   2 1   2  5   . 3  x   x x x   m                Mà 1   2   1   2 1   2  1   1   1 2   2   5   6   2   2  x   x   x x   m   m x   x                                thỏa mãn  0,5đ  0,5đ  0,5đ  0,5đ  2.a)   2đ  Giải bất phương trình: 2   2  (   3 )   2   3   1   0 x   x   x   x             .   (**)   2   1 2   3   1   0   1   x   2  x   x   x                     + 1 1   x   2  x            nghiệm đúng.  + 1 1   x   2  x            : 2  (**)   3   0   3   x   0 x   x   x                      , thỏa mãn  Vậy (**) có nghiệm là: 1 3   x   0   1   x   2  x   x                     0,5đ  0,5đ  0,5đ  0,5đ  2.b)   2đ  Giải hệ phương trình: 2   3   2 2   2  1 (   )   1  x   x y   xy   xy   y x   y   xy                           2   2 2   2  xy(   )   1 (   )   1  x   y   xy   x   y x   y   xy                            . Đặt 2  x   y   a xy   b              ta có hệ pt: 2   2 2   2   2   3   2  1   1   1 1   (1   )   1   1   2   0  ab   a   b   b   a   b   a a   b   a   a   a   a   a   a   a                                                                          2 3   2  1   1   2   0 0   3   1 2   0  b   a   a   a   a b   b   b a   a   a                                                                      + 1 0  a b         2   x   0   x   1 1 1   0 0  x   y y   y xy                                            + 2 3  a b         2   x   1 2 3 3  x   y y xy                            + 0 1  a b         2   x   1 0 1 1  x   y y xy                            Vậy nghiệm của hệ là   : (1   ; 1)   ; (0   ;   - 1)   ; ( - 1   ; 3)   ; (1   ; 0)   ; ( - 1; 0)  0,5đ  0,5đ  0,5đ  0,5đ  3a)   2đ  Khi m = 3 ta có pt: 2  4   5   20   3 x   x   x   x                      : đk:     4;5 x      2 2   9 4   5   20   2  t x   x   t   x   x                           Pttt: 2 2   1( ) 9   3   2   3   0   3 2  t   l t t   t   t   t                          0,5đ  0,5đ

Đề thi chọn HSG Toán 10 năm học 2019 – 2020 trường THPT thị xã Quảng Trị

TRƯỜNG THPT ĐỒNG ĐẬU   KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG LẦN 2  NĂM HỌC: 2020 - 2021  Môn thi: TOÁN - Lớp 10 THPT  Thời gian:   180 phút   ( không kể thời gian giao đề )    Câu 1 .   Tìm   tập   xác      hàm   số   10   1  y   5   2  x  x           Câu 2 .   Cho phương trình                 2 2   2  1   1   1   0 1 x   ax   a x   ax                      với   a   là tham số.  a.   Giải phương trình với   2 a     b.   Khi phương trình       1   có nghiệm thực duy nhất. Chứng minh rằng   2 a      .  Câu 3.   Cho hàm số         2  y   f   x   ax   bx   c             có đồ thị như hình vẽ bên.  Tìm   các   giá   trị   nguyên   của   tham   số   m      phương   trình                  2   2   3   0 f   x   m   f   x   m                có 6 nghiệm phân biệt  Câu 4 .   Giải phương trình  2  3   3   2   6   1   7   10   4   3   5   2   0 x   x   x   x   x                           Câu 5 .   Giải bất phương trình   2   2   2   5   1. x   x   x                  Câu 6.   Giải hệ phương trình:  2   2   3  2   2  5   4   3   2(   )   0  2  x y   xy   y   x   y  x   y                              Câu 7 .   Cho hình chữ nhật   ABCD   có   2 AB   AD    ,   BC   a    . Tính giá trị nhỏ nhất của độ dài vectơ  2   3 u   MA   MB   MC                      , trong đó   M   là điểm thay đổi trên đường thẳng   BC   .  Câu 8 .   Cho tam giác   ABC   vuông tại   A   , G là trọng tâm tam giác   ABC   . Tính độ dài cạnh   AB   biết cạnh  AC   a    , và góc giữa hai véc tơ   GB     và     GC   là nhỏ nhất.  Câu 9 .   Cho tam giác   ABC   cân tại   A   , nội tiếp đường tròn tâm   O   . Gọi   D   là trung điểm của   AB   ,   E   là  trọng tâm tam giác   ADC   . Chứng minh rằng   OE   CD    .  Câu 10.   Với       0;1 x      , hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức   1   (1   1   )   5  1  x   x  P   x   x                   .  ---------------------Hết------------------  Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.  Số báo danh  ...........................  x  y  -1  2   3  3  O   1SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC  TRƯỜNG THPT ĐỒNG ĐẬU  Có 06 trang    NĂM HỌC 2020-2021 MÔN TOÁN 10  Câu   Nội dung     1  Tìm   tập   xác      hàm   số   10   1  y   5   2  x  x            2,0  Hàm số xác định khi và chỉ khi   10   1   0  5   2  x  x            Hoặc  10   1   0  5   2  5   0  x  x  x                         0,5          5   5   0 20   2   5   3(5   )  0   0  2(5   )   2(5   )   5   0  x   x x   x   x  x   x   x                                                        .   0,5  5   5 x          0,5  Vậy tập xác định của hàm số là   ( 5;5] D      .   0,5  2  Cho phương trình                 2 2   2  1   1   1   0 1 x   ax   a x   ax                      với   a   là tham số.  a, Giải phương trình với   2 a     b, Khi phương trình       1   có nghiệm thực duy nhất. Chứng minh rằng   2 a      .  2,0  a, với   2 a      phương trình       1   thành                        2 2   2  4   2  2   1   2   2   1   1   0  1   2   1   1   0  x   x   x   x  x   x                                       0,5      2  1   1  0  2  x  x  x                      0,5  b, Xét phương trình                 2 2   2  1   1   1   0   1 x   ax   a x   ax                        2   1, t   x   ax          khi đó       2   1   0   2 x   ax   t             và phương trình đã cho trở thành:      2   1   0   3 t   at          .  Phương trình       1   có nghiệm khi   a   và   t   thỏa mãn:   2   4   0 a         và   2   4   4   0 a   t          .  2   4   0   2 a   a             hay   2 a      .  0,5

Đề thi HSG Toán 10 lần 2 năm 2020 – 2021 trường THPT Đồng Đậu – Vĩnh Phúc

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI  CỤM   TRƯỜNG THPT     CHÍNH THỨC  KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI   CỤM LỚP 1 0  NĂM HỌC 202 1   -   202 2  Môn thi:   TOÁN  Th  i gian l à m b à i :   1 5 0 ph ú t  Bài   I   ( 4 ,0      Cho Parabol        2  (   ) :   2   3 P   y   x   x   .  1) Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị (   ) P   .  2)   Tìm   tọa độ điểm M   thuộc (   ) P   sao cho khoảng cách từ M        4   7 y   x    Bài   II   ( 6 ,0     1)   Gi  i h    phương trình                         2   2   1. 3  x   y   xy x   y   xy  2)   Gi  i phương trình sau:  a)           2  2   3   5   1 x   x   x   ;  b)                    2   3   2   6   2   1   3   2. x   x   x   x  Bài   III   ( 4 ,0 điểm)   Cho ba số dương , , a b c   thỏa mãn          3 a   b   c   .  1) Chứng minh         3   3 2   2  a   b   a   b b   a   .  2) Tìm giá   trị   nhỏ   nhất của biểu thức         3   3   3 2   2   2  a   b   c P   b   c   a   .  Bài   IV   ( 3 ,0 điểm )   Cho   tam giác đều ABC   có   cạnh   bằng a   .   Gọi G   là trọng tâm tam giác, M   là  một      thỏa mãn        2   3   0. MA   MB   MC  1)   Ch  ng minh:  6 GM   A C   .  2)   G  i ,   , D E F   là hình chi  u c  a M   lên các c  nh ,   ,   . BC CA AB   Tính     MD   ME   MF  theo . a  Bài   V   ( 3 ,0 điểm)   Trong mặt phẳng tọa độ Oxy   , c ho   tam giác ABC   có các đường cao ,   ,   . AD BE CF  Biết điểm (5, 4), E    (1, 2) F   và phương trình đường thẳng B C   là    1 y   .  1)   Vi  t phương trình đư  ng th  ng EF   và tìm t  a đ    trung đi  m c  a . B C  2)   Tính di  n tích tam giác . DEF  -   -   -   -   -   -   -   -   -   -   Hết   -   -   -   -   -   -   -   -   -  Họ và tên thí sinh:....................................................   Số báo   danh:............................................SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO   HÀ NỘI  CỤM   TRƯỜNG THPT  HƯỚNG DẪN CHẤM  KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI   CỤM LỚP 1 0  NĂM HỌC 202 1   -   202 2  Môn thi:   TOÁN  Bài   Câu   Nội dung     1  (4,0đ)  1   TXĐ:   0,25        1;   4 I         0,25  Bảng biến thiên: x   - 1   y     0,5    (P) Giao với trục         :   3;0 ; 1;0 Ox     (P) Giao với trục      : 0;   3 Oy     Vẽ đồ thị hàm số  (Chú ý: học sinh   biểu diễn   tọa độ các điểm trên hình  vẽ vẫn được điểm tối đa)  0,25  0,25  0,5  2   Gọi            , M   x y   P    suy ra 2   2   3 y   x   x          0,25  Khi đó      2   2   4 4   7 ,   17   17  x   x y   x d M d                 0 , 5  Ta có:      2 2   2   4   1   3   3 x   x   x                  Suy ra      3 17 ,   17  d   M d      .   0,5  Suy ra giá trị nhỏ nhất của      3 17 ,   . 17  d   M d     Dấu bằng xảy ra khi 1,   0. x   y      0,5  Vậy      1,0 M   .   0,25  2  (6,0đ)  1                                                       2   2   2  1   (   )   3   1 3   3  x   y   xy   x   y   xy x   y   xy   x   y   xy  0,25   x   y   S xy   P              0, 2 5  - 4

Đề thi học sinh giỏi Toán 10 năm 2021 – 2022 cụm trường THPT – Hà Nội

SỞ GD&ĐT BẮC NINH  TRƯỜNG THPT YÊN PHONG SỐ 2      Năm học : 2018 – 2019 Môn: Toán   Lớp: 10  Thời gian làm bài: 150 phút   ( Không kể thời gian phát đề)  Ngày thi: 26/01/2019  Câu 1 (4 điểm).   Cho hàm số   2   (2   3)   2   2 y   x   m   x   m                (1) 1)   Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 0. 2)   Xác định m để đồ thị hàm số (1) cắt đường thẳng   3   1 y   x       tại hai điểm A, B phân biệt sao cho   OAB    vuông tại O ( với O là gốc toạ độ).  Câu 2 (2 điểm).   Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số  2  1   2  x  y   x   m   x   m                    xác định trên khoảng ( - 1; 3).  Câu 3 (5 điểm).   Giải các phương trình sau  2 3   2 1)   3   1   7   2 2)   3   1   4   3   5   4 3)   3   3   5   2   3   10   26   0.  x   x   x x   x   x x   x   x   x   x                                                Câu 4 (2 điểm).   Giải hệ phương trình: 2   3   2 4   2 1 (2   1)   1  x   x y   xy   xy   y  x   y   xy   x                                   Câu 5 (3 điểm).   Cho tam giác   ABC   có   AB = 1, AC = x   và      0 60 . BAC      Các điểm   M, N     2 MC   MB         và   2 NB   NA           . Tìm x      AM   và   CN   vuông góc với nhau.  Câu 6 (2 điểm).   Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng với G là trọng tâm tam giác ABC ta có  2   2   2 1  .   .   .   (   )  6  GAGB   GB GC   GC GA   AB   BC   CA                             .  Câu 7 (2 điểm).   Cho   , ,   [2018;2019] x y z      . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:  | 2018.2019   |   | 2018.2019   |   | 2018.2019   |  ( , , )   (   )   (   )   (   )  xy   yz   zx  f x y z   x   y z   y   z x   z   x y                          . --------------------- Hết --------------------- Họ và tên thí sinh: ...........................................   Số báo danh: ................................ Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.SỞ GD&ĐT BẮC NINH  TRƯỜNG THPT YÊN PHONG SỐ 2 HƯỚNG DẪN CHẤM HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG Năm học : 2018 – 2019 Môn: Toán   Lớp: 10  Ngày thi: 26/01/2019  Câu   Nội dung     1)Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 0.   2,0 1(4đ)  2) Phương trình hoành độ giao điểm:   2   2   2   3   0(*) x   mx   m           * Tìm được điều kiện để dường thẳng cắt đồ thị hàm số tai A, B là  3 m      hoặc   1 m    * Gọi   1   2 , x   x   là các nghiệm pt (*), ta có   1   2 1   2 2 2   3  x   x   m x x   m                      *   1   1   2   2 (   ; 3   1),   (   ; 3   1) A x   x   B x   x       . Tính được  1   2   1   2 .   0   10   3(   )   1   0 31 26   31   0   26  OAOB   x x   x   x  m   m                                     Kết luận   31  26  m     0.5 1 0.5 Hàm số xác định khi   1   0   1  2   0   2  x   m   x   m x   m   x   m                                                       Tập xá định của hàm số là   [   1;2   ) D   m   m       với điều kiện  1   2   1. m   m   m            1 2(2đ)   Hàm số xác định trên   (   1; 3)    khi và chỉ khi  (   1; 3)   [   1;2   )  0  1   1   3   2   3 2  m   m  m m   m   m                                         . Vô nghiệm. Kết luận không có giá trị của m 1

Đề thi HSG Toán 10 cấp trường năm 2018 – 2019 trường Yên Phong 2 – Bắc Ninh

1 S   C VÀ ĐÀO T    C  M   TRƯ  NG   THPT   THANH XUÂN -  C  U GI  Y - THƯ  NG TÍN      OLYMPIC   MÔN   TOÁN 1 0  NĂM H  C 2018      2019  Môn: Toán  Th  i gian:   12 0 phút (Không k    th  i gian phát đ  )  Câu 1.   Cho hàm s  2   2   2 y   x   x         1   . a) L  p b  ng bi  n thiên và v       th      P   c  a hàm s   1   . b) Tìm m      phương trình 2   2   2   0 x   x   m                có hai nghi  m 1 x   và 2 x   th  a mãn: 1   2 1   3 x   x         .  Câu 2.   a) Gi  i b      2   2  4   2   5   3   0 x   x   x   x            b) Gi  i h    phương trình sau: 2   2 2   2  2   5   2   0 4   0  x   xy   y   x   y x   y   x   y                                          . c) Tìm m      b  2 2  4 2   3 2   3  x   x   m x   x                   nghi  x    ?  Câu 3.   Cho tam giác ABC   ; đặ t ,   , a   BC b   AC c   AB          . G  i M   là điể m tùy ý. a)   Tìm giá tr    nh    nh  t c  a bi  u th  c 2   2   2  P   MA   MB   MC          theo ,   , a b c   . b)   Gi    s      6 cm,   2 cm,   1   3   cm a   b   c             . Tính s       nh  t c  a tam giác ABC  và di  n tích tam giác ABC   .  Câu 4.   Trong m  t ph  ng t  Oxy   cho hình ch    nh  t ABCD   . G  i H   là hình chi  u c  a A   lên BD   ; I  là trung điể m c  a BH   . Bi  nh     2;1 A   , phương trình đườ ng chéo BD   là: 5   19   0 x   y          ,   m 42   41 ; 13 13  I                 . a)   Vi     ng th  ng AH   . Tìm t     m H   ? b)   Vi  ng quát c  nh AD   .  Câu 5.   Cho ba số dương ,   , a b c   thỏa mãn: 2   2   2   1 a   b   c          . Chứng minh rằng 2   2   2   2   2   2  3 3 2  a   b   c b   c   c   a   a   b                 .  HẾT2  HƯỚ NG D  N GI  I CHI TI  T Câu 1.   Cho hàm s  2   2   2 y   x   x         1   . a) L  p b  ng bi  n thiên và v       th      P   c  a hàm s   1   . b)Tìm m      phương   trình 2   2   2   0 x   x   m                có   hai   nghi  m 1 x   và 2 x   th  a   mãn: 1   2 1   3 x   x         .  L  i gi  i  a) T  nh: D      . T     nh     1;1 I   . H    s  1   0 a         nên hàm s     ng bi  n trên kho  ng     1;      và ngh  ch bi  n trên kho  ng     ;1    . B  ng bi  n thiên:  + Đồ   th  :     P   có tr  i x  ng th  ng 1 x      .     P    m     0; 2 A   ;     2; 2 B   . b) 2   2  2   2   0   2   2 x   x   m   x   x   m                            .  1  S    nghi  m c  g trình  1   chính là s    giao điể m c  a     P   v  ng th  ng : d   y   m    ,  trong đó     d   là đườ ng th  ng luôn song song ho  c trùng v  i Ox   . D    th      P   ta th   1   có nghi  m th  a mãn 1   2 1   3 x   x         5   5 m   m            .

Đề Olympic Toán 10 năm 2019 cụm THPT Thanh Xuân & Cầu Giấy & Thường Tín – Hà Nội

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO  THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH  TRƯỜNG THPT CHUYÊN  LÊ HỒNG PHONG    KỲ THI OLYMPIC TRUYỀN THỐNG 30 THÁNG 4  LẦN THỨ XXVI - NĂM 2021  Ngày thi: 03/4/2021  MÔN THI:   TOÁN -   KHỐI:   10  THỜI GIAN:   180 phút  Hình thức làm bài: Tự luận     01   trang  Lưu ý: - Thí sinh làm mỗi câu trên một tờ giấy riêng và ghi rõ câu số mấy ở trang 1 của mỗi tờ giấy thi.  -   Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay.  Câu 1.   (3,0 điểm)   Cho   , , a b c   là độ dài các cạnh của một tam giác có chu vi bằng   2   .  Chứng minh  3   3   3  2   2   2   2   2   2 3  2   2   2   3.  6  a   b   c   abc   a   b   b   c   c   a                                 Câu 2.   (4,0 điểm)   Cho các số thực   ,   , x y z   thỏa mãn  2  2  2  1   1  1   1  1   1.  x   y  y   z  z   x                                     Chứng minh   x   y   z       là số nguyên.  Câu 3.   (4,0 điểm)   Với số nguyên dương   2, n      xét bảng vuông gồm có             2   1   2   1        n   n     ta viết vào mỗi ô chỉ một trong   3   số   1 ,   0   hoặc   1    sao cho trong mỗi bảng con   2   2    luôn tìm được  3      0   . Gọi   n S   là giá trị lớn nhất của tổng tất cả các số trong bảng. Chứng minh  a.   2   5. S     b.   2   1. n S   n   n         Câu 4.   (4,0 điểm)  a. Chứng minh tồn tại   2   cặp số   ( ,   ) a b   với   a   ,   b   là các số nguyên dương thỏa mãn  2   2   9  3   7 a   b       .  b. Hãy tìm tất cả các số nguyên dương   n   sao cho phương trình  2   2   7 n  x   y   xy         có nghiệm trong tập số nguyên không chia hết cho 7.  Câu 5.   (5,0 điểm)   Cho tam giác nhọn   ABC       AB   AC    nội tiếp đường tròn   (   ). O   Tia   AO   cắt đoạn thẳng  BC   tại   . L   Gọi   A    là điểm đối xứng với   A   qua đường thẳng   . BC   Giả sử tiếp tuyến qua   A    của     A BC    cắt các tia   , AB AC   lần lượt tại các điểm   ,   . D E  a. Chứng minh đường tròn ngoại tiếp các tam giác   D A B    ,   E A   C    ,   L A   A    cùng đi qua một điểm  khác   . A   b. Gọi   J   là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác   . ADE   Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam  giác   JDE   tiếp xúc với   (   ). O  HẾT  Họ tên thí sinh: ..................................................................... SBD: ...................................................  Trường: ................................................................................. Tỉnh/TP: .............................................

Đề Olympic 30 tháng 4 Toán 10 năm 2021 trường chuyên Lê Hồng Phong – TP HCM

NHÓM TOÁN VD – VDC       THI HSG TOÁN  https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc   Trang 1  NHÓM TOÁN VD      VDC  S    GD&ĐT   HÀ TĨNH  THPT TRẦN PHÚ  (Đề   thi có 01 trang)  K    THI CH  N HSG L  P 1 0  NĂM HỌ C 2019 - 2020  MÔN: TOÁN    THPT  Thời gian: 1 2 0 phút    Câu 1:   (5,0 điể m)   Cho hàm số             2 2   2   1   2                 y   m   x   m   x   m   (   m   là tham số).  a) Bi    th    là m     nh b  ng   3 m   . Xác định giá trị   c  a   m   .  b) Tìm   m      hàm s    ngh  ch bi  n trên kho  ng       ; 2    .  Câu 2:   (4 ,0 điể m)   Trong hệ tọa độ   Oxy   , cho hình thang   ABCD   có hai cạnh bên   AB   và   CD   cắt nhau tại điểm   M   , tọa độ điểm   ( 2;   2), B(0; 4) A         và   (7;3) C   .  a) Tìm t     m   E      2   0 EA   EB   EC +   +   =                 và tìm giá trị   nh    nh  t c  a   2 PA   PB   PC +   +            bi  t   P   là điểm di độ ng trên tr   b) Bi  t di  n tích hình thang   ABCD g  p 3 l  n di    MBC   . Tìm tọa độ    nh   D  Câu 3:   (5,0 điể m)   Cho phương trình   3   2 2   2   1 x   mx   x   m   x +   +      =   +   (   m   là tham số).  a) Gi  i   3 m   = −   .  b)   Tìm các giá trị   c  a   m      phương trình có 3 nghiệ m phân bi   Câu 4:   (4 ,0 điể m)   Cho tam giác   ABC      3 a   . Lấy các điểm   M   ,   N   lần lượt trên các cạnh  BC   ,   CA   sao cho   BM   a =   ,   2 CN   a =   .  a. Tìm giá trị   c  a   tích vô hướ ng   AM   BC        theo   a   .  b. Gọ i   P   là điể m n  m trên c  nh   AB   sao cho   AM   vuông góc v  i   PN   . Tính độ   dài   PN theo   a   .  Câu 5:   (2 ,0 điể m)   Cho hàm số   (   )   4   2 4   5 f   x   x   x   m =      +   +   (   m   là tham số). Tìm   m    nhất của hàm số đã cho trên đoạn   2;   5              ----------------H  ----------------NHÓM TOÁN VD – VDC       THI HSG TOÁN  https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc   Trang 1  NHÓM TOÁN VD      VDC  S    GD&ĐT   HÀ TĨNH  THPT TRẦN PHÚ  (Đề   thi có 01 trang)  K    THI CH  N HSG L  P 1 0  NĂM HỌ C 2019 - 2020  MÔN: TOÁN    THPT  Thời gian: 1 2 0 phút  H    D   Câu 1:   (5,0 điểm). Cho hàm số             2 2   2   1   2                 y   m   x   m   x   m   (   m   là tham số).  a) Bi    th    là một đường parabol có tung độ    nh b  ng   3 m   . Xác định giá trị   c  a   m   . b) Tìm   m      hàm số   ngh  ch bi  ng       ; 2    .  Lờ i gi  i :  a) Để      th    là một đường parabol thì   2   0   2           m   m   .    th    có tung độ    nh b  ng        2   5 3   3   2   5   3   2 2                     m m   m   m   m m m      2 1 3   8   5   0   5 3                         m m   m   tm m   .  V  y  1 5 3            m m   .  b) Để   hàm số   ngh  ch bi  n trên       ; 2    thì   2  m   . Khi đó hàm số   ngh  ch bi  ng   1 ;   2                      m m  Ta đượ c:           1   2   1   2   2   2   0 2  m   m   m   do m m                        .  1   2   4   3 m   m   m              V  y   2   3 m       .  Câu 2:   Trong hệ tọa độ   Oxy   , cho hình thang   ABCD   có hai cạnh bên   AB   và   CD   cắt nhau tại    M   , tọa độ điểm   ( 2;   2), B(0; 4) A         và   (7;3) C   .  a)   Tìm tọa độ      E      2   0 EA   EB   EC +   +   =                 và tìm giá trị   nh    nh  t c  a   2 PA   PB   PC +   +            bi  t   P   là điểm di độ ng trên tr   b) Bi  n tích hình thang   ABCD g  p 3 l    MBC   . Tìm tọa độ    nh   D  .  Lờ i gi  i

Đề thi chọn HSG Toán 10 năm 2019 – 2020 trường THPT Trần Phú – Hà Tĩnh

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ TĨNH    (    thi có 01 trang, g  m 05 câu )  KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH CẤP THPT NĂM HỌC 2016 - 2017 MÔN: TOÁN - LỚP 10  Thời gian làm bài: 180 phút  Câu 1.  a) Giải hệ phương trình            3 3 x   1   2y   1 x y   1   2.                    b) Giải phương trình   2 6x   2 x   1   2   2x   9x   4                  .  Câu 2.  Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình sau có nghiệm: 2 4 x   1   2   x   x   m   x   0                .  Câu 3.  Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD. Gọi M là trung điểm của    AC   4AN    . Đường thẳng DM có phương trình   y   1   0       và   1   3 N   ; 2   2                 . Xác định tọa độ điểm A.  Câu 4.  a) Cho tam giác nhọn ABC có các đường cao   1   1   1 AA , BB , CC      1 (A   BC,   1   1 B   AC, C   AB)       . Biết   1   1 AA   2   2, CC   3       và   1 HB   5HB .    Tính tích   cot A.cot C   và diện tích tam giác ABC. b) Cho   a, b,c   là các số thực không âm có tổng bằng 3. Chứng minh rằng 2   2   2 a   b   c   abc   4             .  Câu 5.  Tập hợp X có       n   * 2   n         phần tử được chia thành các tập con đôi một không giao nhau. Xét quy tắc chuyển phần tử giữa các tập như sau: nếu A, B là các tập con của X và số phần tử của A không nhỏ hơn số phần tử của B thì ta được phép chuyển từ tập A vào tập B số phần tử bằng số phần tử của tập B. Chứng minh rằng sau một số hữu hạn các bước chuyển theo quy tắc trên, ta nhận được tập X. ------------HẾT------------ -   Thí sinh không    c s    d  ng tài li  u và máy tính c  m tay.  -   Giám th    không gi  i thích gì thêm. H    và tên thí sinh: ......................................................S    báo danh: ..................1 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ TĨNH  KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH CẤP THPT NĂM HỌC 2016-2017- MÔN TOÁN LỚP 10 HƯỚNG DẪN CHẤM  (H  ng d  n ch  m g  m 3 trang)  Lưu ý: Mọi cách giải khác gọn và đúng đều cho điểm tương ứng. Câu   Nội dung    Câu 1a 3 điểm   Nhận xét:   x   0    không thoả mãn.   Với   x   0    , ta có hệ   3 3 1 1   2y   x 2 y   1   . x                      1   t x      , hệ trở thành          2   2 3 3   3 y   t   y   yt   t   2   0 (1) 1   2y   t 1   2t   y   1   2t   y   (2)                                              Do   2   2 y   yt   t   2          >0, suy ra từ (1) ta có   y   t   Thay vào (2) ta có          3   2 y   2y   1   0   y   1   y   y   1   0                        y   1 1   5 y   2                Với   y   1    , suy ra   x   1   Với   1   5 y   2      , suy ra   1   5 x   2      ;  Với   1   5 y   2      , suy ra   1   5 x   2     Câu 1b 3 điểm     1   x   1         2   2 6x   2   3x   1   6x   2 x   1   2   2x   x   1   2   2x 9x   4   9x   4                                                2 2 1 3x   1   0   x   3 2   x   1   2   2x   9x   4   2   x   1   2   2x   9x   4   (2)                                                                    2   2 2   4 3   x   2   2 1   x   9x   4                      2   2 9x   8   4 2   2 1   x   x                            (3) Nhân hai vế của (3) với       2 2   2 1   x   x                   , ta suy ra:                              2   2   2   2   2   2 9x   8   2   2 1   x   x   4 4.2 1   x   x   9x   8   2   2 1   x   x   4   0                                                                          Do   1   x   1          , suy ra       2 2   2 1   x   x   4   0             , từ đó ta có   2 9x   8   0       2   2 x   3        Thay vào phương trình (3) ta thấy   2   2 x   3     thỏa mãn Kết luận: Tập nghiệm của phương trình   1   2   2 S   ; 3   3                     

Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh môn Toán 10 năm học 2016 – 2017 sở GD và ĐT Hà Tĩnh

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI  TRƯỜNG THPT LƯU HOÀNG    NĂM HỌC 2019 – 2020  Môn thi: Toán - Lớp: 10  (Th   0   phút, không k    th    giao đ   Câu 1   ( 4 điểm ). Cho hàm số y = -x 2   + 2(m + 1)x + 1 – m 2   (m là tham số).  a) Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt A,  B sao cho tam giác KAB vuông tại K, trong đó K(2; -2).  b) Tìm giá trị của m để hàm số (1) có giá trị lớn nhất bằng 6.  Câu 2   ( 6 điểm ).  a) Giải phương trình:  2  2  3(4   9)   2   3  3   3  x   x  x            b)   Tìm m để phương trình: (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) = m có nghiệm.  c) Giải hệ phương trình:        2   2   2   2  9   3   3   2   5  (   )(   3)   3(   )   2  x   y   x   y   y  x   y   x   xy   y   x   y                                                Câu 3   ( 6 điểm ).  a) Cho    ABC và hai điểm M, N thay đổi sao cho:   MC MB MA MN   2 4        .  Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn đi qua điểm cố định.  b) Cho tam giác ABC có diện tích bằng   1  4   . Đặt a = BC, b = AC, c = AB. Chứng  minh rằng: cotA + cotB + cotC = a 2   + b 2   + c 2 .  c) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(1; 2) và B(4; 3). Tìm tọa độ      AMB   bằng   0  45   .  Câu 4   ( 2 điểm ). Một chủ hộ kinh doanh có 32 phòng trọ cho thuê. Biết giá cho thuê  mỗi tháng là 2.000.000đ/1 phòng trọ, thì không có phòng trống. Nếu cứ tăng giá mỗi  phòng trọ lên 200.000đ/1 tháng, thì sẽ có 2 phòng bị bỏ trống. Hỏi chủ hộ kinh doanh  sẽ cho thuê với giá là bao nhiêu để có thu nhập mỗi tháng cao nhất?  Câu 5   ( 2 điểm ). Cho các số thực dương x, y, z thay đổi thỏa mãn: x + y + z = 3. Tìm  giá trị nhỏ nhất của biểu thức:   2   2   2  1   2020  A   x   y   z   xy   yz   zx                   .  ----------HẾT----------  Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm!  Họ và tên thí sinh: ...................................... Số báo danh: ................  Chữ ký giám thị coi thi số 1:   Chữ ký giám thị coi thi số 2:   SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI  TRƯỜNG THPT LƯU HOÀNG  HƯỚNG DẪN CHẤM  KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG  NĂM HỌC 2019 – 2020  Môn thi:   Toán   -   L   I. Hướng dẫn chung  II. Đáp án và thang điểm  Câu        Câu 1  (4 điểm)  a) Phương trình hoành độ giao điểm:  2   2   2   2  2(   1)   1   0   2(   1)   1   0 x   m   x   m   x   m   x   m                                  (2)   0.5    trình (2) có hai nghiệm phân biệt:  2   2  '   0   (   1)   1   0   2   2   0   1 m   m   m   m                                  .  0.5  Gọi các nghiệm của phương trình (2) là   1   2 , x   x   .  Tọa độ các giao điểm   , A B   là   1   2 (   ;0),   (   ;0) A x   B x   ;   1   2 (   2; 2),   (   2; 2) KA   x   KB   x                  .   0.5  1   2   1   2   1   2 .   0   (   2)(   2)   4   0   2(   )   8   0 KA   KB   KA KB   x   x   x x   x   x                                         2   2   1  1   2.2(   1)   8   0   4   3   0   3  m  m   m   m   m   m                                            .  Kết hợp điều kiện   1 m      , ta được   1 m      ,   3 m      .  0.5  b)   2   2   2   2   2   2  2(   1)   1   2(   1)   (   1)   (   1)   1 y   x   m   x   m   y   x   m   x   m   m   m                                             2  (   1)   2   2 y   x   m   m                   .   0.5  2   2 y   m          , với mọi x      R.   0.5  Dấu   "   "    xảy ra khi   1 x   m       . Giá trị lớn nhất của hàm số là   2   2 m      .   0.5  Giá trị lớn nhất của hàm số bằng 6 khi   2   2   6   2 m   m             .   0.5  Câu 2  (6 điểm)  a)       - 1 ho    0.5  Phương trình  2  2  2  3(4   9)   2   3   3(2   3)(2   3)   (2   3)   3   3  3   3  x   x   x   x   x   x  x                               0.5  2  2   2  3  2   3   0   2  2   3   0 3   3   3(2   3)  3   3   9(2   3)  x  x  x x   x  x   x                                                     0.5  2  3  2   3  3   2  2 2  33   108   84   0  x  x  x   x  x   x                                                   . Vậy phương trình có hai nghiệm x = -  3/2, x = 2.  0.5  b)          R. Phương tr       (x 2   + 8x + 7) (x 2   + 8x + 15) = m   (1)   0.5   2   + 8x + 16 = (x + 4) 2 , điều kiện t      0. (1)      (t – 9) (t – 1) = m     t 2      10t +   9 = m (2), t      0   0.5  Xét hàm s  2      10t + 9 , t      0 .   0.5   

Đề học sinh giỏi Toán 10 cấp trường năm 2019 – 2020 trường Lưu Hoàng – Hà Nội

S    GD&ĐT HÀ N  I  CÁC TRƯ  NG THPT  C  M   SÓC SƠN   -   MÊ LINH  K    THI OLYMPIC L  P 10  NĂM H  C 2019 - 2020  Môn thi: TOÁN  Th  i gian: 1 5 0 phút (không k    th  i gian giao đ  )  Câu 1 .   (4 ,0     m)  1. L  p b  ng bi  n thiên và v        th    hàm s  2   5   6 y   x   x          .  2. Tìm m đ      ng th  ng 1 y   x   m          c  t đ    th    hàm s  2   4   6 y   x   x          t  i hai đi  m phân bi  t.  Câu 2 .   (6 ,0     m)  1. Gi  i b  t phương trình 2 3   14   3   7   1 x   x   x               2. Gi  i h    phương trình 2   4   2 3   2   2  2   7 4   11   28   11  x   y   xy   xy xy   x y   xy   x   y                                   3.   M  t ngư  i có m  t khu đ  t bãi r  ng d  c theo b    sông. Ngư  i    n làm m  t hàng rào hình ch  a E (như hình v  ) đ      c  khu đ  t hình ch    nh  t g  m hai ph  n đ    tr  ng rau và chăn nuôi.    i v  i m  t hàng rào song song v  i b    sông thì chi phí nguyên  v  t li  u   là 80000 đ  ng m  t mét dài, đ  i v  i ph  n còn l  i thì chi  phí nguyên v  t li  u là 40000 đ  ng m  t mét dài. Tính di  n tích  l  n nh  t c  a ph  n đ  t mà ngư  i đó rào đư  c v  i chi phí v  t li  u  20 tri  u đ  ng.  Câu 3 .   ( 4 ,0     m )  Trong m  t ph  ng t  a đ    Oxy, cho hình thang   ABCD   vuông   t  i A và     2;2 D   , c  nh 2 CD   AB    .  G  i H là hình chi  u c  a D lên c  nh AC và M là trung đi  m HC. Bi  t phương trình đư  ng th  ng DH  và BM l  n lư  t là 2   6   0 x   y          và 4   7   61   0 x   y          . Tìm t  a đ    các đ  nh A, B, C c  a hình thang.  Câu 4 .   (3 ,0     m)  Cho tam giác ABC. O là đi  m tùy ý trong tam giác. G  i M, N, P l  n lư  t là hình chi  u c  a O lên  c  nh BC, AC, AB. Ch  ng minh r  ng 2 BC   AC   AB   p OM   ON   OP   r           , trong đó p là n  a chu vi và r là bán  kính đư  ng tròn n  i ti  p tam giác ABC.  Câu 5 .   (3 ,0     m)  Cho các s    th  c dương a, b, c. Tìm giá tr    nh    nh  t c  a bi  u th  c                  2   2   2 3   3   3 2   2   2  5   5   5  a   b   c P   b   c   bc   c   a   ca   a   b   ab                          ---   H  t   --- Con   sôngS    GD&ĐT HÀ N  I  CÁC TRƯ  NG THPT C  M  SÓC SƠN   -   MÊ LINH  K    THI OLYMPIC L  P 10  NĂM H  C 2019 - 2020  Môn thi: TOÁN  Th  i gian: 1 5 0 phút (không k    th  i gian giao đ  )  HƯ  NG D  N CH  M  Bài   N  i dung     m  Bài   I.1   L  p b  ng bi  n thiên và v        th    hàm s  2   5   6 y   x   x          .   2.0  T  p xác đ  nh D     T  a đ      nh 5   1 ; 2   4  I                 Hàm s    ngh  ch bi  n trên 5 ; 2                 và     ng bi  n trên 5 ; 2                0.5  B  ng bi  n thiên   0.5  V        th   1.0  Bài   I.2   Tìm m đ      ng th  ng 1 y   x   m          c  t đ    th    hàm s  2   4   6 y   x   x          t  i hai đi  m  phân bi  t.  2.0  Xét phương trình hoành đ    giao đi  m 2   4   6   1 x   x   x   m                0.5 2   5   6   1 x   x   m               0.5  Phương trình có hai nghi  m phân bi  t khi và ch    khi đư  ng th  ng 1 y   m       c  t đ   th    hàm s  2   5   6 y   x   x          t  i hai đi  m phân bi  t.  0.5  x         5/2   +     y  +      +   

Đề thi Olympic Toán 10 năm học 2019 – 2020 cụm Sóc Sơn – Mê Linh – Hà Nội

MA TRẬN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC   2020 - 2021  MÔN: TOÁN -10  1. KHUNG MA TRẬN  ( T    lu   Ch       Chuẩn KTKN  C  p đ    tư duy  Cộng  Nhận biết   Thông hiểu   V  p   V   H    phương trình   Câu 1 b   10%  Phương trình b  c hai  m  t    n  Câu 1a  Câu 2a  10%  5%  H    th  c Vi - et và    ng  d  ng  Câu 2b   15%  Hàm số   (   ) 2 y   ax   a   0 =      Câu 3a   Câu 3b   15% Bi  n đ  i đơn gi  n bi   thứ c ch  c b  c hai Câu 4   10% M  t s     th  c v   nh  và đường cao trong tam giác vuông  Câu 5a   Câu 5b  Câu 5c 20% 15%  Cộng   25%   25%   25%   25%   100%2.   BẢNG MÔ TẢ CHI TIẾT NỘI DUNG CÂU HỎI  CHỦ ĐỀ   CÂU   MÔ TẢ  H    phương trình   1b   Thông hiểu:   Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn.  Phương trình b  c hai m  t    n   1a   Nhận biết:   Giải phương trình quy về ph   một ẩn.  2a   Nhận biết:   Chứng minh phương trình bậc hai luôn có nghiệm  hoặc vô nghiệm với mọi tham số.  H    th  c Vi - et và    ng d  ng   2b   Vận dụng thấp:   Tìm tất cả các giá trị của tham số   m   thỏa    Hàm số   (   ) 2 y   ax   a   0 =      3a   Nhận biết:   Vẽ parabol.  3b   Thông hiểu:   Tương quan giữa đường thẳng và parabol.  Bi  n đ  i đơn gi  n bi  u th   a căn  th    4   Vận dụng thấp:   Rút g  n bi  u th   a căn th   c hai. M  t s     th  c v   nh và đư  ng cao  trong tam giác vuông  5a   Thông hiểu:   Chứng minh đẳng thức có liên quan đến cạnh và    5b   Vận dụng cao:     t s     th  c v   nh và đư  ng cao  trong tam giác vuông đ    gi   t s    bài toán liên quan.  5c   Vận dụng cao:     t s     th  c v   nh và đư  ng cao  trong tam giác vuông đ    gi   t s    bài toán liên quan.  Ghi chú:   S    thứ   tự   câu   trong ma trận đề   không phải là số   thứ   tự   câu h    kiểm tra.

Đề thi HSG Toán 10 cấp trường năm 2020 – 2021 trường THPT Nguyễn Huệ – Quảng Nam

TR  NG THPT CHUYÊN KHTN B    MÔN CHUYÊN TOÁN     THI CH  N HSG TOÁN 10 – L  N 1 N  M H  C 2020 - 2021  Th  i gian làm bài:   180 phút   (không k    th  i gian phát    )  Ngày 10 tháng 09 n  m 2020  Bài 1.   Tìm t  t c    các b    ba s    ( ,   ,   ) x   y p   nguyên d  ng, v  i   p   là s    nguyên t    th  a mãn: 2   2   2 3   12 x   xy   p y   y          .  Bài 2.   Gi  i h    ph  ng trình:          2   2 2   2 4 3   3   9  x   y   x   y x   x   y   y                                   .  Bài 3.   Cho   , ,   0 a b c      và   3 a   b   c          . Tìm giá tr    l  n nh  t c  a:   2   2   2 4   4   4 3   3   3  bc   ca   ab P   a   b   c                  .  Bài 4.   Cho tam giác   ABC   nh  n n  i ti  p trong    ng tròn       . O   P   là m  t    i  m n  m trong tam giác sao cho   PB   PC    . L  y    i  m   Q   trên    ng tròn ngo  i ti  p tam giác   PBC   và n  m trong tam giác sao cho 90 PQA   OAP             . G  i   M   là trung    i  m c  a   BC .    i  m   K   thu  c c  nh   BC   sao cho   KAB   MAC       . Ch  ng minh r  ng   . QK   QP   Bài 5.   Tìm t  t c    các s    nguyên d  ng   n   sao cho t  t c    các    c nguyên d  ng (phân bi  t) c  a   n   có th   s  p x  p thành m  t b  ng hình ch    nh  t (m  i v    trí ch  a      t s  ) mà t  ng các s    trên m  i hàng b  ng nhau; t  ng các s    trên m  i c  t b  ng nhau.  --------------- H  T ---------------  https://toanmath.com/

Đề thi chọn HSG Toán 10 lần 1 năm 2020 – 2021 trường THPT chuyên KHTN – Hà Nội

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI PHÒNG  TRƯỜNG THPT TRẦN NGUYÊN HÃN    (  )    LỚP 10 - NĂM HỌC 2020-2021  Môn: Toán  Thời gian bàm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề  Họ, tên thí sinh:   ...........................................   Số báo danh:   ...............................  Câu I (4,0 điểm).  1.   Cho hàm số   2   2   3 y   x   x          có đồ thị là parabol (P).  a.   Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (P).  b.   Dựa vào đồ thị (P) vừa vẽ trên hãy tìm tất cả các giá trị của m để phương trình  2   2   3   0 x   x   m             có 4 nghiệm phân biệt.  2. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số   2  (2   1)   2   2 y   m   x   mx   m                  khoảng   (1;   )    .  Câu II (2,0 điểm).  Cho số thực   0 a      và hai tập hợp         16  ; 4   ,   ; A   a   B   a                           . Tìm tất cả các giá trị của a để  A   B       .  Câu III (4,0 điểm).  1) Giải phương trình       2  4   3   2   0 x   x   x             .  2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình   2   2  1   1  x   m   x  x   x                  vô nghiệm.  Câu IV (2,0 điểm).  Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hệ phương trình   2   4  2   3   3  x   y   m  x   y   m                             có nghiệm thỏa   2   2   5 x   y      .  Câu V (4,0 điểm).   Cho tam giác   ABC   có điểm G là trọng tâm.  1) Phân tích véctơ     AG   theo hai véctơ      AB   và     AC   .  2) Điểm   N   thỏa mãn   3   0 NB   NC                 chứng minh đẳng thức :   6   5   7   0 GN   AB   AC                        .  3) Gọi   P   là giao điểm của   AC   và   GN   , tính tỉ số   PA  PC   .  Câu VI (2,0 điểm).  Cho các số dương a,b,c thỏa mãn điều kiện   1 abc      . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức  2   2   2   2   2   2  bc   ca   ab  P   a b   a c   b a   b c   c a   c b                  ------------------   Hết   ------------------  Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.  Họ tên, Chữ kí của cán bộ coi thi:..............................................................................  Câu I   1. Cho hàm số (P):   2   2   3 y   x   x          .  a.   Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.  b.   Dựa vào đồ thị vừa vẽ trên hãy   tìm tất cả các giá trị của m     phương trình  2   2   3   0 x   x   m             có 4 nghiệm phân biệt.  3,0     Ta có :     2  b  a   =    1 và      4 a     =    4.     Vậy, đồ thị hàm số là một parabol có đỉnh S(  1;    4), nhận đường thẳng  x =    1 làm trục đối xứng và hướng bề lõm lên trên.     Bảng biến thiên:  x        1   +   y  +     4   +        3; 0), B(1; 0).  0,5  0,5  0,5  0,5

Đề chọn HSG Toán 10 vòng 1 năm 2020 – 2021 trường THPT Trần Nguyên Hãn – Hải Phòng

H    và tên thí sinh: ................................................................. S    báo danh: .............................  Câu 1:   (2,0    i  m)  Cho hàm s    b  c hai   2   2(   1)   3   4 y   x   m   x   m =            +   (1), v  i   m   là tham s  .  a)   V       th    hàm s    (1) khi   2. m   =  b)   Tìm    i  m c     nh mà      th    hàm s    (1) luôn    i qua v  i m  i giá tr    c  a   m   .  c)   Tìm t  t c    các giá tr    c  a tham s    m         th    hàm s    (1) c  t tr  c hoành t  i hai    i  m phân bi  t có hoành      1   2  , x   x   th  a mãn   1   2  2   1 x   x    =   .  Câu 2:   (3,0    i  m)  Trong m  t ph  ng t  a      Oxy   , cho tam giác   ABC   , v  i   (   ) 2; 3 A   ,   (   ) 2;   1 B         ,   (   ) 1; 5 C   .  a)   Tìm t  a    i  m   D   sao cho   4.   0 DA   DB   DC    +   =                .  b)   Vi  t ph  ng trình    ng th  ng    i qua   D   và t  o v  i    ng th  ng   AB   góc   45    .  c)   Tính bán kính    ng tròn ngo  i ti  p tam giác   ABC   .  Câu 3:   (3,0    i  m)  Gi  i h    ph  ng trình và b  t ph  ng trình sau      a)  2   2 4   2   2  2   3   15  2   4   5  x y   x   y x   y   x   y      +   +   =       +         =     .  b)   2  2   8   4   2 x   x   x    +   >      .  Câu 4:   (2,0    i  m)  Cho ba s    th  c   , ,   0; 3 , x y z                    th  a mãn   4 x   y   z +   +   =   . Tìm giá tr    l  n nh  t c  a bi  u th  c  (   ) 2   2   2  3   2 P   x   y   z   xyz =   +   +      .  ============= H  t =============  Thí sinh không    c s    d  ng tài li  u khi làm bài. Cán b    coi thi không gi  i thích gì thêm.  S    GD -  T B  C NINH  TR  NG THPT YÊN PHONG S    2  (    có 01 trang )     THI CH  N HSG C  P TR  NG  N  M H  C 2020 – 2021 Môn: Toán – L  p 10  Th  i gian làm bài : 150   phút   (không k    th  i gian giao    ) Thi ngày: 10/3/2021Trang 1  S    GD-  T B  C NINH  TR  NG THPT YÊN PHONG S    2  ( HDC có 03 trang )  H  NG D  N CH  M KÌ THI CH  N HSG C  P TR  NG  N  M H  C 2020 – 2021 Môn: Toán – L  p 10  L  i gi  i s    l  c    i  m  Câu 1:   (2,0    i  m)  a)   V  i   2 m   =   thì hàm s    (1) tr    thành   2   2   2 y   x   x =         và có      th    nh    sau  x  y  1 3 1 - 1 - 3 - 2  O  1,0  b)   G  i   0   0  (   ;   ) M x   y   là    i  m c     nh mà      th    hàm s    (1) luôn    i qua v  i m  i giá tr    c  a   m   . Ta có  2 0   0   0 2 0   0   0   0 0 0 2 0   0   0 0  2(   1)   3   4, (2   3)   (   2   4)   0, 3 2   3   0   2 . 13 2   4   0  4  y   x   m   x   m   m m   x   y   x   x   m x x y   x   x   y  =            +           +   +            =              = −     +   =                              =         =          V  y   3 13  (   ;   )  2   4  M      là    i  m c     nh mà      th    hàm s    (1) luôn    i qua v  i m  i giá tr    c  a   m   .  0,5  c)   Ph  ng trình   2   2(   1)   3   4   0 x   m   x   m          +   =   có hai nghi  m phân bi  t   1   2  , x   x   khi và ch   khi   2   1   13  '   3   0   2  m   m   m      +    +      >      >   ho  c   1   13   (2).  2  m       <   Lúc này, theo   nh lí Viet, ta có   1   2   1   2  2(   1),   4   3   . x   x   m   x x   m +   =      =     Nh  n   th  y   1   2 1   2 1   2  2(   1)   4   3   2   3  , 2   1   3   3  x   x   m   m   m x   x x   x      +   =                =   =        =    ,   t        th    vào